2014-2015高数(上)复习参考题

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1、2014-2015高数（上）复习参考题2014.12.16第一章习题1-11．求下列函数的自然定义域：(1)；解：(1)解不等式组得函数定义域为;2．已知函数定义域为，求的定义域．解：因为定义域为，所以当时，得函数的定义域为；当时，得函数定义域为；当时，得函数定义域为：（1）若，；（2）若，；（3）若，13.习题1-31.(16)===．2．设函数,试讨论是否存在？解：因为，即，所以存在．3．设　若极限存在，则等于什么?解：因为，所以，当，即时，存在．4．已知，其中为常数，求和的值．解：因为，所

2、以，则．习题1-41．计算下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)；(2)；(3)；(4)2．计算下列极限(1)；(2)；(3)；(4)；解：(2)；(3)；(4)习题1-58．当时，若与是等价无穷小，试求．解：依题意有，因为当时，，，所以，故．习题1-63．当取何值时，函数在处连续．解：因为所以，依题意有=0.4．设其中是已知常数．试选择，使为连续函数．解：因为所以，若则为连续函数必要求此时可取任意实数；若则取，就可以使得为连续函数．习题1-73．证明：已知，求常数的值．解：因为，

3、则，所以．复习题A二、填空5.已知为常数，，则_________，_________.答：，解：复习题B3．当时，下列变量为无穷小的是（　）A.；B.；C.；D.答：C第二章复习题A一.选择题1.设，则在点可导的充要条件为()(A)存在.(B)存在.(C)存在.(D)存在1.解法二：直接考虑(B)因此应选取(B)．参考答案1.解法一：　当时，关于(A)：　　　　由此可知若在点可导成立，反之若(A)成立成立，不能成立，如满足(A)但不存在．关于(D)：若在点可导成立，反之(D)成立，不能在连续，因

4、而不能在处可导，如满足(D)，但不存在．再看(C)：（解法不好）(当它们都时)注意：易求得因此，若成立．反之若(C)成立不能(即)，因为只要有界，仍有(C)成立．如满足(C)但不存在．可以简单考虑：因此只能选(B)．一6.在处存在左、右导数，则在点()(A)可导(B)连续.(C)不可导.(D)不连续.（6）解：选（B）7.设,则（此题有错）(A)在处必可导且(B)在处必连续,但未必可导.(C)在处必E有极限但未必连续.(D)以上结论都不对.参考答案：一、选择题1、(B)；2、(C)；3、(C)；

5、4(B)；5(C)；6(D)；7(C);8、(B)9、（D）;10、（C）;11、(D)；12、(C);13、（C）；14、（D）；15、（B）;第三章习题3.11．验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。解：函数在区间上连续，在区间内可导，故在上满足拉格朗日中值定理的条件。又，解方程得。因此，拉格朗日中值定理对函数在区间上是正确的。2．不求函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。解：函数可导，且。由罗尔定理知，至少存在使即方程有至少三个实根。又因方程为三次方程，故它至多有三个

6、实根。因此，方程有且只有三个实根，分别位于区间内。4．设求证不等式：证明：取函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点，使，即，故习题3.31．用洛必达法则求下列极限（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：因为，而.所以（9）解：因为，而,所以，8.求函数在区间上的最大值和最小值，并指明最大值与最小值点。解：9．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆。截面的面积为问底宽为多少时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最

7、省？解：设界面周长为，已知及即故令，得驻点由知为极小值点。又因为驻点唯一，故极小值点就是最小值点。所以，当截面的底宽为时，才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省。习题3.81.设函数，试求在时的边际函数值．解：因为，所以该值表明：当时，改变一个单位(增加或减少一个单位)，约改变10个单位(增加或减少10个单位)．2.已知生产某产品Q件的成本为3.某工厂生产一批产品的固定成本为(元)，试求：(1)边际成本函数；(2)产量为1000件时的边际成本，并解释其经济意义；(3)产量为多少件时，平

8、均成本最小？解：(1)边际成本函数：．(2)产量为1000件时的边际成本：它表示当产量为1000件时，再生产1件产品需要的成本为60元；(3)平均成本：，，令0，得Q=3000(件)．由于0，故当产量为3000件时平均成本最小．2000元，每增产一吨产品成本增加50元，设该产品的市场需求规律为,(P为价格)，产销平衡，试求：(1)产量为Q=100吨时的边际利润；(2)产量为多少吨时利润最大？解：由得故总收入为，总成本为，故总利润为．(1)边际利润为．当产量为Q=100吨时，边际利润为(元)．(2