无穷小与无穷大(VI)

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1、无穷小(infinitelysmall)无穷大(infinitelygreat)无穷小与无穷大的关系第四节无穷小与无穷大第一章函数与极限1拉格朗日：动力学基础；牛顿：对微积分的探讨；欧拉：1748年《无穷小分析引论》.无穷小量.英国数学家、物理学家(1642—1727)牛顿拉格朗日意大利数学家、力学家(1736—1813)瑞士数学家(1707—1783)欧拉都可以转化为一种简单而重要的变量----数学的发展历史表明,较复杂的变量,很多变化状态比无穷小与无穷大“无穷小量分析”.21.定义极限为零的变量称为无穷小量无穷小是指函数变化的趋

2、势.一、无穷小无穷小与无穷大在某个过程中3定义1记作1)无穷小是变量;2)零是可以作为无穷小的唯一的数.注“无穷小量”是表达量的变化状态的.“无限制变小的量”无穷小与无穷大42.无穷小与函数极限的关系证定理1恒有也即无穷小与无穷大5在同一过程中,有限个无穷小的代数和定理2仍是无穷小.3.无穷小的运算性质无穷小与无穷大取恒有恒有证的两个无穷小,时当¥®x恒有,02>$N无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.注6证定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.恒有无穷小与无穷大.,0为无穷小时当a×®uxx7在同一过程中,有极限的变量与无穷小都

3、是无穷小.推论1的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.推论3无穷小与无穷大8二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.是无穷大;是无穷大.无穷小与无穷大9定义2记作特殊情形:正无穷大,负无穷大．无穷小与无穷大10(1)无穷大是变量;无穷大一定是无界函数,注(3)无穷大与无界函数的区别:未必是某个过程的无穷大.无界函数无穷小与无穷大11是无界函数,但不是无穷大.取而取无穷小与无穷大当所以f(x)不是无穷大!12例铅直渐近线(verticalasymptote).无穷小与无穷大结论13在同一过程

4、中,无穷大的倒数为无穷小;证定理4恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大三、无穷小与无穷大的关系对当关于无穷大的讨论,意义无穷小的讨论.都可归结为关于14无穷小与无穷大思考题A.无穷小量B.无穷大量C.有界量非无穷小量D.无界但非无穷大量D15