2013《常微分方程课程设计》指导书 1-2

《2013《常微分方程课程设计》指导书 1-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第1章引言1.1课程设计的意义高等学校的实践教学一般包括课程实验、综合性设计(课程设计)、课外科技活动、社会实践、毕业设计等，基本上可以分为三个层次：第一，紧扣课堂教学内容，以掌握和巩固课程教学内容为主的课程实验和综合性设计；第二，以社会体验和科学研究体验为主的社会实践和课外科技活动；第三，以综合应用专业知识和全面检验专业知识应用能力的毕业设计。课程实践(含课程实验和课程设计)是大学教育中最重要也最基础的实践环节，直接影响后继课程的学习以及后继实践的质量。由于课程设计是以培养学生的系统设计与分析能力为目标，通过团队式合作、

2、研究式分析、工程化设计完成较大型系统或软件的设计题目的，因此课程设计不仅有利于学生巩固、提高和融合所学的专业课程知识，更重的是能够培养学生多方面的能力，如综合设计能力、动手能力、文献检索能力、团队合作能力、工程化能力、研究性学习能力、创新能力等。《常微分方程课程设计》（CurriculumDesignoftheOrdinaryDifferentialEquations）是一门继《数学实验》和《常微分方程》（ODE）之后开设的实验性课程，主要是指导性的讲解方程求解的数值方法和软件编程(如MATLAB，MATHMATIC，FO

3、RTRAN等)并实现方程的解析解与数值解可视化分析的一个集中实践教学环节。其宗旨在于培养学生运用计算机分析求解方程的能力，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程，提高常微分方程课堂教学后的理解和应用效果，同时激发和提高同学们对于具有工程背景的科学研究的热情。课程设计不仅仅是以实现相应的程序为目标，更重要的是在完成课程设计的过程中逐步培养今后遇到问题而去解决问题的能力，培养从事计算机应用开发所需要的各种能力与素质。因此，在课程设计实施中，不仅需要完成程序并进行测试，还需要撰写相应的课程设计报告。课程设计报告不仅是对课程设计的

4、总结，也是对软件文档写作能力的初步训练。1.2课程设计的主要内容和方法常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、自动控制、航天、生命科学、经济等领域都有着广泛的应用。这些应用也为微分方程的进一步发展提出了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的同解或特解。到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的初等积分方法。例如一阶常系数微分方程可化为，两边积分可得通解为，其中为任意常数。16有些

5、常微分方程可用一些技巧，如分离变量法，积分因子法，常数变异法，降阶法等可化为可积分的方程而求得解析解(显式解)。另外，线性常微分方程的解满足叠加原理，从而其求解可归结为求一个特解和相应齐次微分方程的通解。一阶变系数线性微分方程总可用这一思路求得显式解。高阶线性常系数微分方程可用特征根法求得相应齐次微分方程的基本解，再用常数变异法求特解。一阶常微分方程与高阶微分方程可以互化，所以一阶微分方程组与高阶常微分方程的理论与方法在许多方面是相通的，一阶常系数线性微分方程组也可用特征根法求解。如给一个阶方程设，可将上式化为一阶方程组反

6、过来，在许多情况下，一阶微分方程组也可化为高阶方程。但是我们必须认识到，可以求得解析解的常微分方程只是很少的一部分，除常系数线性微分方程可用特征根法求解，少数特殊方程可用初等积分法求解外，大部分微分方程是无法得到显示的解析解的。比如简单的方程的解无法用初等函数来表示，而Bessel方程和Riccati方程一般就无法用初等积分法求出通解。因此在实际应用中，人们开始研究某种定解条件下的特解，如研究初值问题的解的性态，引入特殊函数表达解等。同时，随着计算机技术的发展，用近似方法来求微分方程的特解而成为应用中的主流解法，即依靠一些

7、数值解法来处理复杂多样的常微分方程解的问题。比如考虑一阶常微分方程初值问题(1.2.1)这也是一个科学与工程计算经常遇到的问题，由于只有很特殊的方程能用解析方法求解，而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法。通常我们假定(1.1)中对满足Lipschitz条件，即存在常数，使对有(1.2.2)则初值问题(1.1)的解存在且唯一。假定(1.1)的精确解为，求它的数值解就是要在区间上的一组离散点上求的近似值。通常取，称为步长，求(1.1)的数值解是按节点的顺序逐步推进求得。首先，要对方程做离散逼近，求出数值解的公式，

8、再研究公式的局部截断误差，计算稳定性以及数值解的收敛性与整体误差等问题。最简单的数值解法是Euler法。Euler方法只有一阶精度，改进方法有二阶Runge-Kutta法、四阶Runge-Kutta法、五阶Runge-Kutta-Felhberg法和线性多步法等等，这些方法可用于解高阶常微分方程（组）初