《常微分方程课程设计》指导书4

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1、第4章线性多步法41线性多步法的一般公式前面给岀了求解初值问题(1.2.1)的单步法，其特点是计算儿氣吋只用到儿的值，此时沧儿…必」必的值均已算出•如果在计算儿+1时除用人的值外，还用到九亠儿亠…，儿初的值，这就是多步法.若记忑=%+絶h为步长，A兀尹(忑)，/厂7(%几)3=0丄・・・同，则线性多步法可表示为儿+1=工&必“)+必工(焕人)，"上-1，匕…(4.1.1)2=02=-1其屮勺也为常数，若唸】+处】以(即不同吋为零)，称(4.1.1)为线性k步法.计算时用到前面已算出的k个值灯必亠…必却:当0」=0时，(4.1.1)为显式多步方法，当0-】工

2、°则称(4.1.1)为隐式多步法•隐式方法与梯形方法一样，计算时要用迭代法求儿+】•多步法(4.1.1)的局部截断误差定义也与单步法类似.举例来说，对于初值问题卩=-)，+兀+1,)，(0)=1,步数22时，线性多步法表示为儿+1=%儿+0儿一1+/?(几1九+1+A)九+01•九—1)，力=1,2,…当0-】=0•时，格式为显示的：儿+1=%)儿+%yn-i+ho(-yn+£+1)+A(-儿_1+xn_{+1],〃=1,2,…,而时，格式为隐式的：九1=%%+%治+曲1(-加+莎田+1)+4(+兀+1)+彳(-治+也+1]，斤=1,2…o定义4.1设

3、y(x)是初值问题(1.2.1)的精确解，线性多步法(4.1.1)在卩+】处的局部截断误差定义为—ITn+1=尹氐1)一工3(7)一必工处©“)(4.1.2)1=02=-1若Ts+1=0（^+1）,则称线性多步法（4.1.1）是p阶的.T1如果我们希瑕得到的多步法是P阶的，则可利用Taylor公式展开，将丄^在4处展开到妒权阶，它可表示为九=3（耳）+C加（耳）+…P/b叫兀）+C”i护5网（耳）+0（护2）注意，（4.1.2）式按Taylor展开可得Jt-iJt-iTn+1=y（xK+虫）-工a/（耳-讷）-迄0$（心-也）i=-l旷】（4.1.3）2=

4、0=巩耳）+妙久）+・・・+歹产）（心）+話卫两）（心）+…乎（认F-工购》（心）-3紗（心）+飞一刃（耳）+…]2=0厶£一<£焕[卩（心）「妙,心）+譽^（心）+・・・]2=-1经整理比较系数可得rJt-1Cq=1-工52=0Jl-1Jl-12】=1-工0应-工以（4.1.4）（4.1.5）i=0i=-l]Jt-1]Jl-1Cy=-[1-Z（一沪如一工（T）H烘,厂2,3,…,去+1LJ'2=1uV!2=-1若线性多步法（4.1.1）为p阶，则可令c厂c厂…=于是得局部截断误差T紳Y川片（耳）+0（旷2）右端第一项称为局部截断误差主项・°片】称为误差常

5、数•要使多步法（4.1.1）逼近初值问题（1.2.1）,方法的阶p21,当p二1时，则Co=Ci=°,由（4.1.4）得Jt-1Jt-1旬+©+・・・+塔1T，工迢-工以=-1i-li-1（4.1.6）称为相容性条件.公式（4.1.1）当E时即为单步法，若0J=0,由（4.1.6）则得%=1,00=1式(4.1.1)就是儿+厂儿+如，即为Euler法.此时C2=

6、^0,方法为p二1乙阶.若0-1=°,由5=°得％=1,为确定九及仇,必须令C1=^2=0,由(4.1.4)得01+几=1及如=£h此时(4.1.1)就是儿+1=儿+-(/«+£+1)即为梯形法.

7、C3^[1-01-1^4-14=-护”乜）+0（沪）故P二2,方法是二阶的，与3.1节屮给出的结果相同.实际上，当k给定后，则可利用(4.1.4)求出公式(4.1.1)中的系数勺及必,并求得T林1的表达式(4.1.5).42Adams显式与隐式方法形如上-1Yn+1=A+必工妙久斗"上T,匕…(4.2.1)i=r-l的k步法称为Adams方法，当”-i=°•时为Adams显式方法，当产-1工°时,称为Adams隐式方法.对初值问题(1・2.1)的方程两端从心到3积分得尹(入+1)-yOJ=f已Rx，y(x))&显然只要对右端的积分用插值求积公式，求积节点取

8、为耳“小…人，和】即可推出形如(4.2.1)的多步法，但这里我们仍采用Taylor展开的方法直接确定(4.2.1)的系数A°=TQ…用-1).对比(4.1.1)可知，此吋%=1,內=勺=-=^_1=0,只要确定0亠％…,0—即可•现在若k二4且0-1=°,即为4步的Adams显式方法儿+1=儿+方（炖£+A/«-i+炖£-2+A/«-3）其中%炖,02,炖为待定参数，若直接用（4.1.4）,可知此时Co=1-£ZO=1-1-=0自然成立，再令C]=5=5=5=0可得%+A+A+尿=1必+2炖+30厂冷0】+4炖+9炖气A+8A+27/?3=-1■25172

9、0解此方程组得出此得到于是得到四阶Adams显式方法及其余项为h+