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1、第3章数值算法之一：单步法接下来的章节，我们将详细讲解常微分方程的数值求解方法，特别是编程实现方程的初值问题，这也将成为解决实际问题的必要基础和课程设计的主要内容。木章重点讲解一阶常微分方程的数值算法中最简单的一类方法：单步法。首先介绍Euler法、后退Euler法与梯形法，并分析单步法的局部截断误差，然后给出了改进的Euler法。3.1简单的单步法及基本概念3.1.1Euler法、后退Euler法与梯形法求初值问题（1.2.1）的一种最简单方法是将节点£的导数用差商yg+/2）-yg）代替,于是（］.2.］
2、）的方程可近似写成hX^n+1））+Wn）），n=（3］］）从徊
3、
4、发=7^0）=70-,由（3.1.1）求得汉仗（心，几）=九再将代a（3.1.D右端，得到咻2）的近似乃=儿+從m一般写成儿+1=儿+幼（心，儿），七=0,1,・・・（3.1.2）该数值解法称为解微分方程初值问题的Euler法.Euler法的几何意义如图3-1所示。初值问题（1.2.1）的解曲线y二y（x）过点%（和几）,从4出发，以與Wo）为斜率作一段直线，与直线"X咬点于此（心必）,显然冇厂=儿+幼（心，儿），再从珂出发，以佩"J为斜率作
5、直线推进到"兀2丄一点卩2,其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线PoE£・・・・Euler法也可利用风心+i)的Taylor展开式得到，由12y(心+h)=y(xn)+hy'M+—e(xR,xB+1)(3.1.3)略去余项，以卩「VUJ,就得到近似计算公式(3.1.2).另外，还可对(1.2.1)的方程两端护咗円+】积分得V(心+1)一儿=P"/(兀，V0))必(3.1.4)若右端积分用左矩形公式，用儿(和J,则得(3.1.2).如果在(3.1.4)的积分中用右矩形公式，则得儿+1=儿+幼(G+
6、1，儿+1)，刃=0丄…(3.1.5)该算法称为后退(隐式)Euler法。若在(3.1.4)的积分中用梯形公式，则得h尹林1+77[/(為^歹»+/(心+1，尹杆1)]，力=°丄・・・(3.1.6)该算法称为梯形方法。上述三个公式(3・1.2),(3.1.5)及(3.1.6)都是由儿计算儿叫这种只用前一步即可算出儿+】的公式，我们称之为单步法，其屮(3.1.2)可由几逐次求出儿儿，…的值，称为显式方法，而(3.1.5)及(3.1.6)右端含冇了氏小儿』当f对y非线性时它不能直接求出儿从，此时应把它看作一个方程
7、，求解儿叫这类方法称为隐式方法。此时可将(3.1.5)或(3.1.6)写成不动点形式的方程7n+i=+g这里对式(3.1.5)有产=1’儿，对(3.1.6)则"•，盘=儿+£/(心，儿)，g与儿+1无关，可构造迭代法=W(^+1^»+1)+g，s=0,1,…(3・1・7)由丁了(x,刃对y满足Lipschitz条件(1.1.2),故冇y鹽儿+M姻/(心+i，龙1)-/(耳+i，儿+J
8、§咧隅_儿+1
9、訥L10、uler法(3.1.5),当h〈土时迭代收敛，对梯,/2形法(3.1.6),当必〈了时迭代序列收敛。例3.1用Euler法、隐式Euler法、梯形法解y'=-y+x+l,y(0)=1取h=O.1,计算到x=0.5,并与精确解比较。解直接用给出公式计算。由^f(^y)=-y+^+i,h=o.i,xo=0,^0=1,Euler法的计算公式为J+i=+q+i)=(1-h)yK+必兀+h=0.9几+0.lxM+0.1n=0时，兀=°•叽+°%+。1=1000000其余n=l,2,3,4的计算结果见表3-1・对隐式E
11、uler法，计算公式为^«+i+K-yK+i+x謹+i+1)解出儿+i=t~tO»+轨+i+^)=ttO«+01耳+0.11)1+血1.1当n二0时，兀=占(必+0.1心+0.11)=1.009091.其余n=l,2,3,4的计算结果见表3-1.表3-1例3.1的三种方法及精确解的计算结果Euler法％隐式Euler法％梯形法％精确解y（细）011110.11.0000001.0090911.0047621.0048370.21.0100001.0264461.0185941.0197310.31.02900
12、01.0513151.0406331.0408180.41.0561001.0830141.0700971.0703200.51.0904901.1209221.1062781.106531对梯形法，计算公式为^«+i=尹花+X左+1）+（一儿+1+兀+i+1）］解得（1.9儿+0.2耳+0.21）”=—(1.9+0.21)=1.004762当n二0吋，2.1••其余n二1,2,3,4的计算结果见表
