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《《常微分方程课程设计》指导书 3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第3章数值算法之一：单步法接下来的章节，我们将详细讲解常微分方程的数值求解方法，特别是编程实现方程的初值问题，这也将成为解决实际问题的必要基础和课程设计的主要内容。本章重点讲解一阶常微分方程的数值算法中最简单的一类方法：单步法。首先介绍Euler法、后退Euler法与梯形法，并分析单步法的局部截断误差，然后给出了改进的Euler法。3.1 简单的单步法及基本概念3.1.1 Euler法、后退Euler法与梯形法求初值问题(1.2.1)的一种最简单方法是将节点的导数用差商代替，于是(1.2.1)的方程可近似写成 (3.1.1)从出发，由(3.1.1)求得再将代入(
2、3.1.1)右端，得到的近似，一般写成 (3.1.2)该数值解法称为解微分方程初值问题的Euler法.Euler法的几何意义如图3-1所示。初值问题(1.2.1)的解曲线y=y(x)过点，从出发，以为斜率作一段直线，与直线交点于，显然有，再从出发，以为斜率作直线推进到上一点，其余类推，这样得到解曲线的一条近似曲线，它就是折线.图3-1Euler法的几何意义显示Euler法也可利用的Taylor展开式得到，由 (3.1.3)略去余项，以，就得到近似计算公式(3.1.2).另外，还可对(1.2.1)的方程两端由到积分得 (3.1.
3、4)若右端积分用左矩形公式，用，，则得(3.1.2).如果在(3.1.4)的积分中用右矩形公式，则得 (3.1.5)该算法称为后退(隐式)Euler法。若在(3.1.4)的积分中用梯形公式，则得 (3.1.6)该算法称为梯形方法。上述三个公式(3.1.2)，(3.1.5)及(3.1.6)都是由计算，这种只用前一步即可算出的公式，我们称之为单步法，其中(3.1.2)可由逐次求出的值，称为显式方法，而(3.1.5)及(3.1.6)右端含有当f对y非线性时它不能直接求出，此时应把它看作一个方程，求解，这类方法称为隐式方法。此时可将(3.1.5)或(3.1.
4、6)写成不动点形式的方程这里对式(3.1.5)有，对(3.1.6)则，g与无关，可构造迭代法 (3.1.7)由于对y满足Lipschitz条件(1.1.2)，故有当或，迭代法(3.1.7)收敛到，因此只要步长h足够小，就可保证迭代(3.1.7)收敛。对后退Euler法(3.1.5)，当时迭代收敛，对梯形法(3.1.6)，当时迭代序列收敛。例3.1用Euler法、隐式Euler法、梯形法解取h=0.1，计算到x=0.5，并与精确解比较。解直接用给出公式计算。由于，Euler法的计算公式为n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表3-1. 对隐式Euler法
5、，计算公式为解出当n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表3-1.表3-1例3.1的三种方法及精确解的计算结果对梯形法，计算公式为解得当n=0时，.其余n=1,2,3,4的计算结果见表7-1.本题的精确解为，表3-1列出三种方法及精确解的计算结果。附：具体三种算法程序如下：首先定义一阶方程右端函数f如下functionY=f(x,y)Y=-y+x+1;（1）Euler法functiony=DEEuler(f,h,a,b,y0,varvec)%这是Euler法的函数命令%一阶常微分方程的一般表达式的右端函数：f这里可用f=inline%自变量下限a；上限b%函数初值y
6、0%积分步长h%常微分方程的变量组varvecformatlong;%数据显示方式，不影响计算和存储方式，%是指小数点后15位数字表示N=(b-a)/h;y=zeros(N+1,1);x=a:h:b;y(1)=y0;fori=2:N+1y(i)=y(i-1)+h*Funval(f,varvec,[x(i-1),y(i-1)]);%简单Euler公式迭代，%本题单步法的格式为：y(i)=y(i-1)+h.*(-y(i-1)+x(i-1)+1);endformatshort;本题输入命令为>>Y=DEEuler(-v+u+1,0.1,0,0.5,1,[uv])（2）隐式Eule
7、r法functiony=DEimpEuler(f,h,a,b,y0,varvec)formatlong;N=(b-a)/h;y=zeros(N+1,1);y(1)=y0;x=a:h:b;var=findsym(f);fori=2:N+1fx=Funval(f,var(1),x(i));gx=y(i-1)+h*fx-varvec(2);y(i)=NewtonRoot(gx,-10,10,eps);endformatshort;（3）梯形法functiony=DEimpEuler1(f,h,a,b,y0)formatl
