《常微分方程课程设计》指导书 4

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1、第4章线性多步法4.1线性多步法的一般公式前面给出了求解初值问题(1.2.1)的单步法，其特点是计算时只用到的值，此时的值均已算出.如果在计算时除用的值外，还用到的值，这就是多步法.若记,h为步长，，则线性多步法可表示为　　　　　　　　　(4.1.1)其中为常数，若，称(4.1.1)为线性k步法.计算时用到前面已算出的k个值.当时，(4.1.1)为显式方法，当则称(4.1.1)为隐式多步法.隐式方法与梯形方法一样，计算时要用迭代法求.多步法(4.1.1)的局部截断误差定义也与单步法类似.定义4.1　设y(x)是初值问题(1.2.1)的精确解，线性多步法(4.1.1)在处的局部截断误差定义为

2、　　　　　　　　　　(4.1.2)若，则称线性多步法(4.1.1)是p阶的.如果我们希望得到的多步法是p阶的，则可利用Taylor公式展开，将在处展开到阶，它可表示为(4.1.3)注意，(4.1.2)式按Taylor展开可得经整理比较系数可得　　　(4.1.4)若线性多步法(4.1.1)为p阶，则可令于是得局部截断误差　　　　　　　　　　(4.1.5)右端第一项称为局部截断误差主项.称为误差常数.要使多步法(4.1.1)逼近初值问题(1.2.1),方法的阶p≥1,当p=1时，则，由(4.1.4)得称为相容性条件.公式(4.1..1)当k=1时即为单步法，若,由(4.1.6)则得式(4.1.

3、1)就是，即为Euler法.此时，方法为p=1阶.若，由得,为确定及，必须令,由(4.1.4)得　　　　　　　　　　及此时(4.1..1)就是,即为梯形法.由　　故p=2,方法是二阶的，与3.1节中给出的结果相同.实际上，当k给定后，则可利用(4.1.4)求出公式(4.1.1)中的系数及，并求得的表达式(4.1.5).4.2Adams显式与隐式方法形如　　　　　　　　　　　(4.2.1)的k步法称为Adams方法，当时为Adams显式方法，当时，称为Adams隐式方法.对初值问题(7.1.1)的方程两端从到积分得显然只要对右端的积分用插值求积公式，求积节点取为即可推出形如(4.2.1)的多

4、步法，但这里我们仍采用Taylor展开的方法直接确定(4.2.1)的系数.对比(4.1.1)可知，此时，只要确定即可.现在若k=4且，即为4步的Adams显式方法其中为待定参数，若直接用(7.5.4)，可知此时自然成立，再令可得解此方程组得.由此得到于是得到四阶Adams显式方法及其余项为　　　　　　　　　　(4.2.2)　　　　　　　　　　　　　(4.2.3)若，则可得到p=4的Adams隐式公式，则k=3并令　，由(4.1.4)可得解得，而，于是得到四阶Adams隐式方法及余项为　　　　　　　　　　(4.2.4)　　　　　　　　　　(4.2.5)一般情形，k步Adams显式方法是k阶的

5、，k=1即为Euler法，k=2为k=3时，.k步隐式方法是(k+1)阶公式，k=1为梯形法，k=2为三阶隐式Adams公式k步的Adams方法计算时必须先用其他方法求出前面k个初值才能按给定公式算出后面各点的值，它每步只需计算一个新的f值，计算量少，但改变步长时前面的也要跟着重算，不如单步法简便.　　例4.1用四阶显式Adams方法及四阶隐式Adams方法解初值问题,步长h=0.1用到的初始值由精确解计算得到.解本题直接由公式(4.2.2)及(4.2.4)计算得到.对于显式方法，将直接代入式(4.2.2)得到其中.对于隐式方法，由式(4.2.4)可得到直接求出，而不用迭代，得到计算结果如

6、表所示.表4-1Adams方法和Adams隐式方法的数值解与精确解比较4.3Adams预测-校正方法上述给出的Adams显式方法计算简单，但精度比隐式方法差，而隐式方法由于每步要做迭代，计算不方便.为了避免迭代，通常可将同阶的显式Adams方法与隐式Adams方法结合，组成预测-校正方法.以四阶方法为例，可用显式方法(4.2.2)计算初始近似，这个步骤称为预测(Predictor)，以P表示，接着计算f值(Evaluation),，这个步骤用E表示，然后用隐式公式(4.2.4)计算，称为校正(Corrector)，以C表示，最后再计算，为下一步计算做准备.整个算法如下：　　　(4.3.1)

7、公式(4.3.1)称为四阶Adams预测-校正方法(PECE).利用(4.2.2)和(4.2.4)的局部截断误差(4.2.3)和(4.2.5)可对预测-校正方法(4.3.1)进行修改，在(4.3.1)中的步骤P有对于步骤C有两式相减可得　　　于是有若用代替上式,并令显然比更好，但注意到的表达式中是未知的，因此改为下面给出修正的预测-校正格式(PMECME).　　　　　　(4.3.2)经过修正后的PMECME格式比原来PE