方向导数与梯度(76)

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1、方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、方向导数的定义讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．当沿着趋于时，是否存在？记为方向导数的几何意义过直线作平行于z轴的平面与曲面z=f(x,y)所交的曲线记为C表示C的割线向量即即割线转化为切线上式极限存在就意味着当点趋于点曲线C在点P0有唯

2、一的切线它关于方向的斜率就是方向导数LCM0TP0PMl证明由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到故有方向导数解解由方向导数的计算公式知故推广可得三元函数方向导数的定义解令故方向余弦为故二、梯度的概念在几何上表示一个曲面曲面被平面所截得所得曲线在xoy面上投影如图梯度为等高线上的法向量等高线等高线的画法例如,梯度与等高线的关系：此时f(x,y)沿该法线方向的方向导数为故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最

3、大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.解由梯度计算公式得故例5求函数沿曲线在点处的内法线方向的方向导数解一用方向导数计算公式即要求出从x轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角在两边对x求导解得（切线斜率）故法线斜率为内法线方向的方向余弦为而由得解二用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向从等高线的角度来看，f(x,y)在点P的梯度方向与过点P的等高线f(x,y)=C在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线等高线为f(x,y)=C即椭圆大于椭圆因此在点处的内法线恰

4、好是梯度方向故三、小结1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系思考题思考题解答练习题练习题答案