计算方法电子教案第一章序言误差

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1、计算机科学与工程学院计算方法电子教案7/20/20211同学们好！7/20/20212ComputingMethods计算方法学习和了解科学计算的桥梁7/20/20213计算方法能够做什么？序言7/20/20214计算机解决实际问题的步骤建立数学模型选择数值方法编写程序上机计算7/20/20215在计算机上是否根据数学公式编程就能得到正确结果?研究例子:求解线性方程组其准确解为x1=x2=x3=1如把方程组的系数舍入成两位有效数字它的解为x1=-6.222...x2=38.25…x3=-33.65...7/20/2

2、0216计算方法（数值分析）研究的对象研究数值方法的设计、分析和有关理论基础与软件实现。计算方法又称：计算数学、数值方法、数值分析等。计算方法的分枝有最优化方法、计算几何、计算概率统计等7/20/20217课程性质计算方法它属于数学的范畴，在很多大学的数学系有一个计算数学专业（信息与计算科学），它二年的专业课（数值代数、数值逼近、微分方程的数值解）就浓缩为计算方法这门课。计算方法是一门抽象的理论课，同时又是一门实用的技术课，它是数学与计算机联系起来的桥梁。7/20/20218课程内容连续系统的离散化离散性方程的数值

3、求解7/20/20219授课目的使学生掌握用计算机解决数学问题的一般思想方法和技术。计算方法是怎样产生的呢？我们就得从经典数学谈起了。7/20/202110经典数学经典数学在实际应用中存在着一些难点，下面我们举几个例子。方程求根代数方程，超越方程我们知道代数方程一、二次都很好求解，但当次数增加时就困难了，实际上，有人论证过，当n>4时无统一的求根方式，这不涉及到求方程的技巧问题。超越方程就更是如此了。7/20/202111经典数学B.方程组求解（Ax＝b）我们在线性代数中学过比较著名的Cramer法则，当det（A

4、）!=0时，方程组有且仅有一个解。形式非常简单，但计算量非常大。这样用计算机去求解时，也将花费成千上万年（几十阶的方程组）更何况上百阶的方程组在生产应用中也比比皆是。7/20/202112经典数学用Laplace展开计算行列式，共需（n＋1）n！=(n+1)!以上的乘法。对于一个20阶的方程组，就需要21!≈5.11×10E19以上的乘法。所以，在每秒作30亿次乘法的计算机上，用Cramer法则解20阶的方程组，需要的时间大约为540年。7/20/202113经典数学C.求定积分难点：1.原函数很难求出2.原函数不

5、能用有限的初等函数来表示。7/20/202114经典数学这样的话，经典数学直接应用于工程上很难办，不能解决实际问题。人们寻找一种更简便、近似的算法，这样就慢慢发展形成了计算方法这门课。其实，从计算机诞生开始，它与计算机就机密地联系在一起。7/20/202115什么是算法和计算量？算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。计算量：一个算法所需的乘除运算总次数，单位是flop(FloatingOctalPoint浮点八进制).计算量是衡量一个算

6、法好坏的重要标准。7/20/2021161、模型误差2、观测误差3、截断误差4、舍入误差第一章误差1.1误差的来源7/20/202117十进制规格化浮点数x=0.a1a2...at10Jai{0,1,2,…,9},a10，LJU一般情况：x=0.a1a2...atJ,=2,8,10,16,ai{0,1,2,…,-1},LJUF(,t,L,U)表示以上数集全体加数0，它是计算机中使用有限离散集。计算机中的数系阶尾数7/20/202118计算机中数的计算特点:1.加法先对阶,后运算,再舍入

7、2.乘法先运算,再舍入3.不在计算机数系中的数做四舍五入处理例如:在四位浮点十进制数的计算机上计算1+104解:1+104=0.1000101+0.1000105=0.00001105+0.1000105(对阶计算)=0.10001105=0.1000105=1047/20/202119绝对误差：e*=x*-x,x*是近似数,x是准确数绝对误差限*：

8、e*

9、=

10、x*-x

11、*常表示为x=x*或x*-xx*+相对误差：e*r=(x*-x)/x*,x*是近似数,x是准确数相对误差限*r：

12、

13、e*/x*

14、=

15、x*-x

16、/

17、x*

18、*r相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异例:考虑1.x*=10,x=11e*=-1e*r=-0.12.x*=1000,x=1001e*=-1e*r=-0.001误差定义7/20/202120如果

19、e*

20、=

21、x*-x

22、0.510-k称近似数x*准确到小数点后第k位,从这小数点后第k位数字直到最左边非零数字之