观测误差与误差传播律电子教案

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1、1.4协方差传播律在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是观测值的函数。例如，在一个三角形中，观测了三内角，其闭合差和将闭合差平均分配后所得的各角的最或然值分别为()这里各角的最或然值都是三个角度观测值的函数。提出问题：既然观测值含有误差，观测值的函数值也不可避免地产生误差，那么观测值的中误差是通过什么样的规律传给函数值的？这个规律就称为误差传播律。94必须具备两个基本条件（写出函数式和已知自变量的方差阵）本节先说明协方差和协方差阵的概念，再推导协方差传播律的一般公式，最后说明非线性函数的协方差阵的求法。1.4.1协方

2、差阵已在绪论中介绍。1.4.2观测值线性函数的方差设有观测值，其数学期望为，协方差阵为，即94又设有的线性函数式中，为常数。上式的纯量形式为94取数学期望，得根据方差的定义可知，的方差为代入上式，得所以94上式对应的纯量形式为当协方差时，上式为我将其称之为方差传播律。显然是协方差传播律的一种特殊情况。通常将以上3式称为协方差传播律。例[1-2]在1：500的图上，量得两点间的距离d＝9423.4mm，d的量测中误差0.2mm，求该两点间实地距离S及其中误差。解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m(mm)(m)例[

3、1-3]设为独立观测值的函数，已知的中误差，及，求函数的中误差。解：因是独立观测值，所以按式(1-28)得(mm)94例[1-4]如图，设在测站A上，已知∠BAC＝α（设无误差），而观测角和的中误差为，协方差(秒2)。求角x的中误差。解：因令则得所以94也可同样1.4.3多个观测值线性函数的协方差阵设有观测值，数学期望为，方差阵为，若有的个线性函数求函数的方差和它们之间的协方差。94若令,,式可写为的数学期望为所以，的协方差阵为94即得到两式的形式上完全相同，只是一种特殊情况。设另外还有X的r个线性函数94若记,,可写为94的数学期望为

4、的协方差阵为下面来求关于的互协方差阵。根据互协方差阵的定义可知代入上式，可得94所以因为=所以如果＝，则特例。习惯上，将协方差阵、以及的公式都称为协方差传播律。94例[1-5]设在一个三角形中，同精度独立观测到三个内角值，其中误差均为。试求将闭合差平均分配后的各角最或然值的协方差阵。解：三角形闭合差，而为则有94因得的协方差阵为94上述计算表明，最或然值的中误差小于相应观测值的中误差，即最或然值的精度高于其相应观测值的精度，这是平差带来的直接好处。如果在实际计算中，只要计算其中个别元素，例如只要计算的中误差和关于的协方差，则可以写出上例

5、中94所以而与用矩阵整体解算的结果相同。在应用误差传播律时应注意的一个重要问题是，函数式必须表达为观测值的最简函数。例如，如果将函数表达为而不经化简即应用误差传播定律，则有94显然是错误的，原因就是没有把函数式化为观测值的最简表达式。例[1-6]设有函数已知和的协方差阵分别为和，关于的互协方差阵为，求的协方差阵和关于及的互协方差阵及。解：将式写为94则由协方差传播律得或而可写为,根据协方差传播律可知94因此当时，则式变为941.4.4非线性函数的协方差传播设有独立观测值的非线性函数已知的协方差阵，欲求Z的方差。假定观测值有近似值,则可将

6、函数式按泰勒级数在点、、…、处展开为式中是函数对各个变量的偏导数，并以近似值代入所算得的数值，它们都是常数。当与充分接近时，上式中二次以上各项很微小，故可以略去。因此，可将上式写为94令则这样，就将非线性函数式化成了线性函数式，故可以求得Z的方差为94当σij=0时，其纯量形式为如果我们换一个思路，引入变量和函数的微分，即考虑到且令则式可变化为94可见，上式是非线性函数式的全微分。因为只要求知道式中的系数阵K，所以只要对非线性函数求全微分而得到各个偏导数值就行了，而不必用泰勒级数展开求参数项，仅用于精度评定。对于求最优估值时还需要常数项

7、。如果同时有t个非线性函数将t个函数求全微分得94若记,，94有则可求得的协方差阵为同样，若还有r个非线性函数记94,,则有同样可得与线性公式形式相同。只是在这里，系数阵K、F94中的各个系数是线性化过程中求得的偏导数值而已。例[1-7]设在三角形ABC中，观测三内角，将闭合差平均分配后得到的各角之值为,,按例[1-5]的方法已求得它们的协方差阵为(秒2)已知边长S0＝1500.000m(设无误差)，试求的长度和它们的协方差阵。解：边长可按下式计算94(m)(m)本题先将函数式取对数，化成线性形式，再求全微分，这样较为简便。对函数式取自

8、然对数，有对上式全微分得写成矩阵形式为94在代入数值时必须注意，上式中的是以弧度为单位的，当所给的角度中误差(或方差、协方差)是以秒为单位时，则应除以（或)，将其单位化为弧度系统。本例中的是以秒2为单位，故