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《计数原理与概率、随机变量及其分布__章末大盘点》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、分类讨论思想[理]分类讨论思想在计数原理和概率中应用广泛．如计数原理中的分类加法原理．二项式定理中二项式系数最大问题，概率事件中互斥事件有一个发生的概率问题等都要用到分类讨论思想，通过分类可以把复杂的问题化为简单而熟悉的问题进行解决．在分类时要注意选择正确的分类标准，力争做到不重复也不遗漏．[文]分类讨论思想在互斥事件概率求法中的应用主要是准确地将所求事件转化为彼此互斥的事件的和．在转化过程中也即分类过程，要注意分类时做到不重复，也不遗漏．【示例1】[理]用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有
2、重复数字的五位数．(1)被4整除；(2)比21034大的偶数；[解](1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数．可分为两类：当末两位数是20,40,04时，其排列数为＝18，当末两位数是12,24,32时，其排列数为故满足条件的五位数共有个．(2)法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2，有＋＝6个；当末位数字是0，而首位数字是3或4，有＝12个；当末位数字是2，而首位数字是3或4，有＝12个；当末位数字是4，而首位数字是2，有个；当末位数字是4，而首位数字是3，有＝6个．故有个．法二：不大于21034的偶数可分为
3、三类：1为万位数字的偶数，有(个)；2为万位数字，而千位数字是0的偶数，有个；还有21034本身．而由0,1,2,3,4组成的五位偶数有个．故满足条件的五位偶数共有60－—1＝39个．[领悟]本题中“0”是特殊数字，不能排在首位因为要对首位所排数字进行分类讨论．【示例1】[文]已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．[解]由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1
4、，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A，“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B.(1)若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴故直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为(2)若直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点，则必须满足即b2≤a2＋1.
5、若a＝－2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数时(a，b)有4种不同取值；若a＝－1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；若a＝1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；若a＝2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数时(a，b)有4种不同取值．∴满足条件的实数时(a，b)共有12种不同取值．故直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为[领悟]本题(2)中a取不同的值，b对应着不同的值满足题意，因此要对a的取值进行讨论．二、等价转化思想与数形结合思想几何概型
6、其实质是借助于数形结合思想，将实际问题等价转化为几何概型的一种概率问题，常见的有长度(角度)型，面积型，体积型，有时与线性规则问题相结合．【示例2】已知函数f(x)＝x2－2ax＋b2，a，b∈R.(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素，b从集合{0,1,2}中任取一个元素，求方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率；(2)若a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，求方程f(x)＝0没有实根的概率．[解](1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素，b取集合{0,1,2}中任一个元素，∴a
7、，b的取值的情况有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，即基本事件总数为12.设“方程f(x)＝0有两个不相等的实根”为事件A，当a≥0，b≥0时，方程f(x)＝0有两个不相等实根的充要条件为a＞b.当a＞b时，a，b取值的情况有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，即A包含的基本事件数为6，∴方程f(x)＝0有两个不相等实根的概率P(A
8、)＝(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数，b从区间[0,3]中任取一个数，则试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)
9、0≤a≤2,0≤b≤3}，这是一个矩形区域，其面积SΩ=2×3=6.设“方程f(x)=0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为M={(a，b)
10、0≤a≤2,0≤b≤3，a＜b}，即图
