数值分析9-常微分方程的差分方法

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1、第三章常微分方程的差分方法高云问题的提出实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。常微分方程的定解问题考虑一阶常微分方程的初值问题只要f(x,y)在[a,b]R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述问题存在唯一

2、解。差分方法要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0

3、为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。Ri的主项欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有1阶精度。例题1如何求解此问题？隐式欧拉格式向后差商近似导数))(,()(1101xyxfhyxy+x0x1)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为显式/*explicit*/欧拉公式。隐式欧拉格式的代数精度是几阶的？两步欧拉格式中心差商近似导数x0x2x1假设，则可以导出即中点公式具有2阶精度。需要2个初值y0和y1来启动递推过程，这样的算法称为双步法/*doub

4、le-stepmethod*/，而前面的三种算法都是单步法/*single-stepmethod*/。初值问题的积分形式一阶方程的初值问题与积分方程当x=x1时，借助于数值积分，求y(x1)的值用矩形公式是等价的梯形公式用梯形公式同理方法显式欧拉隐式欧拉梯形公式中点公式简单精度低稳定性最好精度低,计算量大精度提高计算量大精度提高,显式多一个初值,可能影响精度各种方法的比较改进的欧拉格式Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy

5、注：此法亦称为预测-校正法/*predictor-correctormethod*/。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。龙格-库塔方法龙格-库塔方法的设计思想根据微分中值定理根据初值条件定义则平均斜率改进的欧拉格式考察改进的欧拉法，可以将其改写为：斜率一定取K1K2的平均值吗？步长一定是一个h吗？二阶龙格-库塔方法首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开将改进欧拉法推广为：),(),(][12

6、122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+ll二阶龙格-库塔方法（续）Step2:将K2代入第1式，得到Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较二阶龙格-库塔方法（续）要求，则必须有：这里有个未知数，个方程。32存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。注意到，就是改进的欧拉法。Q:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？龙格-库塔方法一般推导公式其中i(i=1,…,m)，i(i=2,…,m)和ij(i=2,…,m;j=1,…,i1)均为待定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。)...,(......),

7、(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl龙格-库塔方法的注意事项注：龙格-库塔法的主要运算在于计算Ki的值，即计算f的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：753可达到的最高精度642每步须算Ki的个数由于龙格