计算方法-常微分方程的差分方法实验

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1、实验三常微分方程的差分方法实验一.实验目的（1）深入理解常微分方程的差分方法的原理，学会用差分方法解决某些实际的常微分方程问题，比较这些方法解题的不同之处。（2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的常微分方程。二.实验要求用Matlab软件实现欧拉方法、改进的欧拉方法、龙格-库塔方法和亚当姆斯方法，并用实例在计算机上计算。三.实验内容1.实验题目（1）取h=0.1，用欧拉方法、改进的欧拉方法、四阶龙格-库塔方法求解初值问题：并与精确解比较计算结果A.欧拉方法：a．编写文件Euler.m,内容如下所示：

2、b.Bb.编写文件f3.m:c.编写文件solvef3(x):d.运行如下所示：可见精度是比较粗糙的，具有两位有效数字；B．改进的欧拉方法a．编写文件MendEuler.m,内容如下所示：c．运行如下：可见部分值具有3为有效数字了C．四阶龙格-库塔方法a．编写文件Rungkuta4.m,内容如下所示：b．运行如下所示：（2）分别用二阶亚当姆斯预估校正系统、改进的四阶亚当姆斯预估校正系统求解初值问题，取，计算。a.编写文件Adams2PC.m,即为二阶亚当姆斯预估校正系统的程序：b.编写改进的四阶亚当姆斯预估校正系统的

3、程序，如下所示：C．编写文件f5.m,即为微分方程的程序；编写文件solvef5.m，为解函数的程序，用以比较结果：d．运行从上面的输出可以看到CA4(:,2)和CA4的输出时不同的，前面一个值输入矩阵的第二列；2.设计思想要求针对上述题目，详细分析每种算法的设计思想。首先差分方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解y（x）的分析问题转化为计算离散值y的代数问题，使问题得到实质性的简化；差分方法在解初值问题时采取步进式，进一步将计算模型化归为仅含一个变元的代数方程——差分格式A．欧拉方法：确定步长，施行离散化手续，用差

4、商代替倒数；B．改进的欧拉方法：在欧拉方法的基础上，改变倒数项，通过首尾两点的倒数的一半来作为平均倒数，从而改善精度；C．龙格-库塔方法：在每一步上多预报几个点的斜率，然后将它们加权平均作为平均斜率K*，即该平均斜率将比上面两种方法更加精确，则有可能构造出更高精度的计算格式；A．二阶亚当姆斯预估校正系统：充分利用先前计算出来的老信息来为新信息服务，期望来达到减少计算量的目的；预报过程采用松弛手续，来校正产生的值，使值的精度更高；B．改进的四阶亚当姆斯预估校正系统：在二阶的基础上，更近一步地改善精度，更加充分地利用来信

5、息，又不失二阶时的预报校正的优点。三.实验体会对实验过程进行分析总结，对比求解常微分方程的不同方法，指出每种算法的设计要点及应注意的事项，以及自己通过实验所获得的对常微分方程的差分方法的理解。在实验的过程也是一次对书本进行复习的过程，通过实验可以更加地理解和学会利用已知的结论来求解初值问题。算法的计算是建立在使用价值上的，如上面的设计思想中可以看出，每一种算法的建立都是在满足一定的实用价值上的，既要有一定的精度，也要控制在一定的计算范围之内。利用松弛手续来提高精度，这种设计是优秀的。编写程序时，以前并不是很注意结尾要

6、不要分号，但这个细节有时必须要注意，正如在运行窗口下时，要想得出计算结果是不能带分号的，假如你带了分号就会自动换行，提示继续输入，如，而当去了分号后就可以运行了；当然这个道理前面几个实验已经知道；这次实验的情况是微分方程是另外存在一个函数文件中的，那么这个文件的结尾到底要不要分号呢？从习惯上还是提倡写上分号，假如在这次中忘了写的话，在其它“.m”文件中引用该函数时，虽然只是中间结果，但每用一次就好输出一次，使输出内容与预知的多了些；还有一点是，像上面的内容假如直接复制，粘贴再运行会出错，因为把“>>”也复制上了，粘贴

7、的“>>”和换行时自动出现的符号在意义上是不同的，故会出错，不过在最新版本的matlab上就没有这个问题，在粘贴时自动把多出的符号删去。实验中二阶亚当姆斯预估校正系统题目中给了两个初值，从而使得程序更加地简单，不必利用其它的方法来求得初值再启动运行。