计算方法常微分方程的差分方法

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1、计算方法13常微分方程的差分方法问题的提出一阶方程的典型解法23.0问题的提出数值微分微分的定义差商公式——三种典型的差商公式3典型的微分方程(一阶方程的初值问题)理论解(解析方法)的局限性数值解法的重要性——无理论解、仅有离散点。4差分方法是一类重要的数值解法寻求一系列离散节点x1

2、解的核心——消除导数，离散化方法53.1Euler方法Euler格式微分的离散化——差商代替导数在点xn列出一阶方程6显式图形7例题取h=0.18欧拉方法的误差分析局部截断误差：在yn=y(xn)为准确的前提下，yn+1-yn的误差。如果其局部截断误差为O(hp+1)，称该数值方法的精度是p阶的。Euler格式的精度：一阶方法。9隐式Euler方法向后差商公式。10隐式计算比较困难一阶方法11两步Euler格式——中心差商公式12两步二阶方法133.2改进的Euler方法微分方程转化为积分方程选取不同的数值积分公式——不同的离散方法(差分格

3、式)14矩形格式离散化梯形格式离散化——两种差商格式的平均化，隐式，精度不高。15改进的思路：先用欧拉方法求得一个初步的近似值，记为(预报值)，代替右侧的yn+1直接计算，得到校正值yn+1。改进的Euler公式16或如下平均化形式17例题18精度分析思考题——数值积分公式其他形式(思想)的适用性193.3Runge-Kutta方法高精度(构造！)思想核心是如何确定。改进的Euler公式20的构造21二阶Runge-Kutta方法取xn和xn+p=xn+ph，0

4、而有：λp=1/2。——二阶Runge-Kutta格式23λ=1/2，p=1，改进的Euler公式；λ=1，p=1/2，变形的Euler公式——中点公式；24三阶Runge-Kutta方法取xn、xn+p、xn+q，0

5、事后误差估计公式：误差控制29初步总结与第2章的继承性。Exercises习题3的第10、12题。303.4Adams方法Adams格式基本思想：利用xn，xn-1，xn-2…上的斜率值减少计算yn+1的计算量或提高精度。31取取合理的λ，使上述格式具有二阶精度——二阶Adams格式32假设则：而显然：λ=-1/2。33二阶Adams格式34三阶四阶35隐式格式二阶隐式Adams格式36三阶隐式Adams格式四阶隐式Adams格式37改进的Adams格式(预报-校正系统)用显式和隐式的Adams

6、格式匹配构造38四阶39假设,则：而显然：40校正后的误差从而有：41事后估计式42令pn和cn分别代表第n步的预报值和校正值，和可作为pn+1和cn+1的改进值。在cn+1未确定前，可用pn-cn来代替pn+1-cn+1进行计算。43改进后的公式44Exercises习题3的第13题。45收敛性与稳定性差分方法的基本思想:通过离散化，将微分方程转化为差分方程(代数方程)。合理性检验解的收敛性。当h=0时，yn是否会收敛到y(xn)?46收敛性问题若，则称该方法收敛。47Euler方法的收敛性Euler格式：看看48令yn=y(xn

7、)，则近似值：局部截断误差从而存在定数C，使49而：式中，L是f关于y的Lipschitz常数。存在常数L，使对于任何一对点(x，y1)、(x，y2)，均有不等式成立，L称为Lipschitz常数。50令，从而有：反复递推有：设xn-x0=nh≤T(T为常数)，则从而51显然，如果初值准确，则有h→0,en→0.Euler格式收敛。52稳定性每一步的计算并不严格准确，存在计算误差的传播问题——扰动。若则称为稳定的。53稳定性问题的讨论Euler格式和隐式Euler格式54Euler格式设在节点值yn上有一扰动值εn，它的

8、传播使节点值yn+1上产生大小为εn+1的扰动值。假设Euler方法的计算过程不再引入新的误差，则扰动值满足：55扰动值满足原来的差分方程，如果原差分