收敛数列的性质和函数极限的性质

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1、第二节极限的基本性质第二章一、收敛数列的性质唯一性有界性保号性、保序性4.收敛数列与其子列的关系二、函数极限的性质唯一性局部有界性局部保号性函数极限与数列极限的关系第二章一、收敛数列的性质1.唯一性定理1.1(收敛数列极限的唯一性)即若则必有若极限则极限唯一.(用反证法)及且取因N1N+,使当n>N1时,假设即当n>N1时,从而使当n>N1时,证法1同理,因故N2N+,使当n>N2时,有从而使当n>N2时,有从而使当n>N1时,则当n>N时,矛盾！故假设不真!例1证明数列是发散的.证用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.对于则存在N,使当n>N时,有因此该数列发散

2、.于是推得矛盾！区间长度为1这与2.有界性例如:有界无界即若使(n=1,2,…).定理2.2(收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.证设取则当时,从而有取则有即收敛数列必有界.有注有界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.收敛有界关系：例如,虽有界，但不收敛.数列推论无界数列必发散.3.保号性、保序性定理2.3(收敛数列的保号性)(1)若则使当n>N时，(<)(<)(2)若则a0.(<)()恒有且对a>0,取证(1)(2)用反证法证明.注如：推论2.3(保序性)使当n>N时，恒有(2)若时,有证(用反证法)取因故存在N1,使当n>N1时,假设从而当n>N1时,从而同理,因故

3、存在N2,使当n>N2时,有则当n>N时,便有与已知矛盾,于是定理得证.当n>N1时,4.收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念称为数列{xn}的一个子数列(或子列)。例如,从数列中抽出所有的偶数项是其子数列.它的第k项是组成的数列：(2)收敛数列与其子数列的关系定理2.4也收敛，且证设的任一子数列.若则当时,有取正整数K,使于是当时,有从而有注定理1°某收敛例如，但发散.2°若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，发散!二、函数极限的性质1.唯一性定理2.1'(函数极限的唯一性)2.局部有界性如：(2)若则X>0,函数f(x)有界.使得当时，3.局部保

4、号性定理2.3'(函数极限的局部保号性)(1)如果且A>0,则存在(A<0)(2)如果且存在A0.则(A0).据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号(1)如果存在X>0(或δ>0),时,恒有f(x)0时,有f(x)

5、1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处