数列极限22收敛数列的性质

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1、一、唯一性本节首先考察收敛数列这个新概念有哪些优良性质,然后学习怎样运用这些性质.§2收敛数列的性质数学分析第二章数列极限二、有界性六、极限的四则运算五、迫敛性（夹逼原理）四、保不等式性三、保号性七、一些例子*点击以上标题可直接前往对应内容定理2.2唯一性若收敛,则它只有一个极限.证设下面证明对于任何定数若a，b都是{an}的极限，则对于任何正数>0,§2收敛数列的性质后退前进目录退出唯一性有界性保号性保不等式性当n>N时(1),(2)同时成立,从而有§2收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性

2、定理2.3有界性即存在证若令则对一切正整数n,都有若数列注数列是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件,而不是充分条件.对于正数§2收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性有定理2.4保号性对于任意两个实数b,c,证注我们可取这也是称该定理为保号性定理的原因.存在N,当n>N时,§2收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性定理2.5保不等式性均为收敛数列,证所以§2收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性如果存在正数是严格不等式.注若将定理2.5中的条件改为这就是说,即使条件是

3、严格不等式,结论却不一定也只能得到例如,虽然§2收敛数列的性质唯一性有界性保号性保不等式性定理2.6迫敛性(夹逼原理)设数列都以a为极限,这就证得：证对任意正数满足:则所以分§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子例2求数列的极限.所以由迫敛性，得又因解有§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子定理2.7四则运算法则则(1)当为常数c时,(3)也都是收敛数列,且有§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子所以的任意性,得到证明(1)§2收敛数列的性

4、质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子的任意性,证得于是证明(2)对于任意§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子证明(3)由(2),据保号性,又因为只要证明§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子即§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子一些例子例3用四则运算法则计算(1)当m=k时,有分别得出:解§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子(2)当m

5、例4证根据极限的保不等式性,有对于任意于是可得§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子例5证根据极限的保号性,N,当n>N时,有所以由极限的迫敛性,证得存在又因为§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子例6解所以由极限四则运算法则,故得§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子得定义1注§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子例7为m个正数,证明证由以及极限的迫敛性,§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子与得定

6、理2.8注§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子例8证(必要性)§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子例9解因此,§2收敛数列的性质迫敛性（夹逼原理）极限的四则运算一些例子1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法,证明：