张爱平-函数与导数专题4(名师课堂

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1、函数与导数（2）高三复习讲座南京市金陵中学张爱平重视对基本初等函数的研究重视函数与其它核心知识的联系一.重视对基本初等函数的研究基本初等函数（一次函数、二次函数、反比例函数、指数与对数函数、分段函数等）是考查函数知识最常见的载体．建议：在二轮复习的过程中应该通过一些填空题和解答题加以训练和巩固，要注意将问题和方法进行归纳、整理．常见基本函数1、二次函数与二次方程二次函数是基本初等函数中最重要的函数之一，在小题和大题中均有所涉及，尤其是二次函数的图象与性质是重中之重．问题：设函数f(x)＝

2、x2－4x－5

3、．（1）在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图象；（2）设集合A＝{x

4、

5、f(x)≥5}，B＝(－∞，－2]∪[0，4]∪[6，＋∞)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．5－155解（1）5－155数与形相结合解决问题！考查函数与方程！考查集合之间的关系！（2）设集合A＝{x

6、f(x)≥5}，B＝(－∞，－2]∪[0，4]∪[6，＋∞)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；5－15设函数f(x)＝

7、x2－4x－5

8、．（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图象位于函数f(x)图象的上方．做差，构造一个新函数，将两个函数图象的关

9、系转化为一个函数的零点的讨论！5－15研究新函数（二次函数）的最小值！5－15设函数f(x)＝

10、x2－4x－5

11、．（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．－31数形结合，先确定临界状态（相切）！直线过定点（－3，0）．5－15－315－15－32、转化为二次函数或二次方程分析：转化为二次函数或二次方程在近几年考题中出现比较多．需要考虑a的符号及对称轴的位置！考虑给定区间上的二次函数的最值时，要讨论图象的开口方向和对称轴与区间的相对位置．幂函数是新课程新增内容！注意难度的控制！要熟记5种幂函数的图象与性质．1，33.指数函数、

12、对数函数与幂函数4、分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．一般考查分段函数的图象、性质和应用．在填空题、解答题中，尤其是应用题有所涉及．主要题型：（1）判断分段函数的奇偶性；（2）求分段函数的函数值；（3）作分段函数的图象；（4）求分段函数的解析式；（5）求分段函数的最值．问题：设f(x)＝x2＋

13、x＋1

14、＋1．（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）求函数的最小值，并画出函数的图像．第（1）问举反例即可，第（2）问是分段函数，研究其最小值，将每段上的最小值求出，再比较得到其最小值．改变分界线与两个对称轴的相对位置，分段函数的性质发生变化，注意结合图象分析二次函数的单

15、调性和最值．变化3：设a∈R，f(x)＝x2＋

16、x－a

17、＋1．求函数的最小值，并画出函数的图像．分析：分三种情况从特殊到一般，研究问题，注意分类讨论的标准！二．重视函数与其它核心知识的联系函数、方程、不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．函数与其它知识的交汇点也是高考命题的热点．函数的思想是灵魂．建议：在整个二轮复习过程中，应不断渗透函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和化归与转化的思想．尤其要注意利用函数的单调性证明不等式、判断方程的根、求函数的最值和参数的范围等问

18、题．利用函数研究方程、不等式、数列、解析几何等的综合问题．函数与方程函数与数列函数与解析几何函数的综合应用函数与导数函数与方程用函数的观点看待方程，可以用动态的观点看方程，把方程看成函数变化过程中的一个特殊状态，方程的根是函数的零点，解方程f(x)=0就是求函数y=f(x)的零点，及利用二分法、导数等工具求方程的近似解（新增内容）．问题：已知函数f(x)＝2x－x2．则方程f(x)＝0在[－1，0]内有几个实数根？方法一：利用导数判断f(x)＝2x－x2单调性，再判断f(0)f(1)的符号；方法二：利用函数y＝2x与y＝－x2的图象，数与形结合；问题：已知a是实数，函数f(x)

19、＝2ax2＋2x－3－a，函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．问题：已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a，函数y＝f(x)在区间[－1，1]上有零点，求a的取值范围．说明：分离参变量，转化为求新函数的值域．函数的综合应用函数应用题依然是高考命题的热点之一，在复习中要注重学生建立函数模型和阅读理解能力的加强．建议：加强建立数学模型能力的培养，对如何选择自变量、确定目标函数及定义域、解决数学模型、回到实际问题等进行有针对性的指导和练习．如何建模？如何利用函数