平面向量的数量积与运算律

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1、平面向量的数量积及运算律物理中功的概念θsF一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F和位移s是向量，功是数量.是F的方向与s的方向的夹角。新课引入向量的夹角两向量的夹角范围是两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作，,则叫做向量a和b的夹角．OB=bOA=a记作当，a与b垂直，当，a与b同向，当，a与b反向AOBOABBabAOOAB练习一：在中，找出下列向量的夹角：ABC(1)(2)(3)平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，

2、即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．提问：向量的加、减法的结果是向量还是数量？数乘向量运算呢？向量的数量积运算呢？其正负由什么决定？“”不能写成“”或者“”的形式练习二：60。CAB60。5824-20D（1）已知

3、p

4、=8,

5、q

6、=6,p和q的夹角是，求p·q60。（2）已知中，=5,b=8,C=,求BC·CAOABab平面向量的数量积的几何意义，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则

7、b

8、cosθ平面向量的数量积的几何意义是:a的长度

9、a

10、与b在a的方向上的数量

11、b

12、cos的乘积，

13、b

14、cosθ叫向量b在a方向上的正射影、数量．

15、练习三：1、已知，为单位向量，当它们的夹角为时，求在方向上的数量及；2、已知，，与的交角为，则；4、已知，，且，则与的夹角为；3、若，，共线，则.（1）e·a=a·e=

16、a

17、cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=

18、a

19、·

20、b

21、，当a与b反向时，a·b=-

22、a

23、·

24、b

25、．特别地403或－3(a//ba·b=±

26、a

27、·

28、b

29、)平面向量数量积的性质：（1）e·a=a·e=

30、a

31、cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=

32、a

33、·

34、b

35、，当a与b反向时，a·b

36、=-

37、a

38、·

39、b

40、．特别地(a//ba·b=±

41、a

42、·

43、b

44、)例2已知中，CB=a,CA=b,a·b<0,ABCD解：设与的夹角为则可作图如右：例题讲解：练习四：（1）在四边形ABCD中，AB·BC=0，且AB=DC则四边形ABCD是（）A梯形B菱形C矩形D正方形（3）在中，已知

45、AB

46、=

47、AC

48、=1，且AB·AC=，则这个三角形的形状是C±1等边三角形（2）已知向量a,b共线，且

49、a

50、=2

51、b

52、则a与b间的夹角的余弦值是。总结提炼1、向量的数量积的物理模型是力的做功；4、两向量的夹角范围是5、掌握五条重要性质：平面向量的数量积的几何意

53、义是:a的长度

54、a

55、与b在a的方向上的数量

56、b

57、cos的乘积2、a·b的结果是一个实数，它是标量不是向量。3、利用a·b=

58、a

59、·

60、b

61、cos可求两向量的夹角，尤其是判定垂直。演练反馈××√判断下列各题是否正确：（2）、若，，则（3）、若，，则(1)、若，则任一向量，有（4）、×ABC1AB1O在实数中，有(ab)c=a(bc)，向量中是否也有?为什么?想一想：答：没有.因为右端是与共线的向量，而左端是与共线的向量，但一般与不共线．所以，向量的数量积不满足结合律．想一想：所以，向量的数量积不满足消去律．在实数中，若ab=ac且a

62、0，则b=c向量中是否也有“若，则”成立呢?为什么?OABC例1求证：证明：(3)与所成角的余弦值．例2已知

63、

64、=6，

65、

66、=4，与的夹角为60，求：解：(1)=72.(2)(2)=76.∴θ注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值．(3)例3已知

67、

68、=3,

69、

70、=4,且与不共线,当且仅当k为何值时,向量+k与k互相垂直?解：1.小结：2.向量运算不能照搬实数运算律，交换律、数乘结合律、分配率成立；向量结合律、消去律不成立。3.向量的主要应用是解决长度和夹角问题。1.已知，为非零向量，+3与75互相垂直，4与72互相垂直，求与的

71、夹角．巩固练习：2.求证：直径所对的圆周角为直角．60