资源描述：
《平面向量的数量积和运算律》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5.3平面向量的数量积和运算律高效梳理●平面向量的数量积定义(1)a·b=
2、a
3、
4、b
5、cosθ(2)规定:0·a=0坐标表示a·b=x1x2+y1y2运算律(1)a·b=b·a(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(3)(a+b)·c=a·c+b·ca在b方向上的投影
6、a
7、cosθa·b的几何意义数量积a·b等于a的长度
8、a
9、与b在a方向上的投影
10、b
11、cosθ的乘积●与平面向量的数量积有关的结论已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).结论几何表示坐标表示模
12、a
13、=
14、a
15、=夹角cosθ=cosθ=a⊥b的充要条件a·b=0x1x2+y1y2=0
16、a·b
17、与
18、a
19、
20、b
21、
22、的关系
23、a·b
24、≤
25、a
26、
27、b
28、
29、x1x2+y1y2
30、≤●向量的数量积与数的乘法的区别两向量的数量积是两向量之间的一种乘法,与数的乘法是有区别的.(1)两个向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.(2)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为对任一与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.(3)a·b=b·c⇏a=c.(4)一般地,a·(b·c)≠(a·b)·c.这是由于b·c和a·b都是实数,而a与c不一定共线.(5)对于实数a､b,有
31、ab
32、=
33、a
34、·
35、b
36、,但对于向量a､b,有
37、a·b
38、≤
39、a
40、·
41、b
42、
43、.●利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法(1)
44、a
45、2=a2=a·a;(2)
46、a±b
47、2=(a±b)2=a2±2a·b+b2;(3)若a=(x,y),则
48、a
49、=.●两个向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB称作向量a与向量b的夹角,记作.(2)范围:向量夹角的范围是0≤≤π,且=.考点自测1.下列四个命题中真命题的个数为()①若a·b=0,则a⊥b;②若a·b=b·c且b≠0,则a=c;③(a·b)·c=a·(b·c);④(a·b)2=a2·b2.A.4B.2C.0D.
50、3解析:①a·b=0时,a⊥b或a=0或b=0.故①命题错.②∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,又∵b≠0,∴a=c或b⊥(a-c),故②命题错误.③∵a·b与b·c都是实数,故(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等.故③命题不正确.④∵(a·b)2=(
51、a
52、
53、b
54、cosθ)2=
55、a
56、2
57、b
58、2cos2θ≤
59、a
60、2·
61、b
62、2=a2·b2,故④命题不正确.答案:C2.若a与b-c都是非零向量,则“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不
63、必要条件答案:C答案:C4.已知
64、a
65、=1,
66、b
67、=,且a⊥(a-b),则向量a与b的夹角是__________.5.已知i,j为互相垂直的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且为锐角,则实数λ的取值范围是__________.题型突破题型一tixingyi利用数量积求向量的夹角规律方法:本题也可用坐标法表示同量,或利用加法的几何意义解答.创新预测1已知a､b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角θ.解析:由已知:(a+3b)·(7a-5b)=0,(a-4b)·(7a-2b)=0.即7a2+16a·b-15b2=0,7a2-
68、30a·b+8b2=0,两式相减,得2a·b=b2.题型二tixinger利用数量积求向量的模【例2】已知
69、a
70、=4,
71、b
72、=8,a与b的夹角是120°.(1)计算:①
73、a+b
74、;②
75、4a-2b
76、.(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)?规律方法:(1)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:①
77、a
78、2=a2=a·a;②
79、a±b
80、2=a2±2a·b+b2;③若a=(x,y),则
81、a
82、=.(2)对于非零向量a,b,a⊥ba·b=0是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关垂直问题十分有效,应熟练掌握,若两非零向量a=(x1,y1),b=(x2
83、,y2),则a⊥bx1x2+y1y2=0.创新预测2已知
84、a
85、=4,
86、b
87、=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角θ;(2)求
88、a+b
89、;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.题型三tixingsan利用数量积求解垂直问题【例3】在△ABC中,=(2,3),=(1,k),且△ABC的一个角为直角,求k的值.规律方法:三角形一内角为直角,不能确定哪个角为直角,因此要分三种情况分别来解,在求解的过程中,要弄清直角应为哪两个向量的夹角，然后求这个向量的坐标.题型四
