平行向量与解三角形

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1、文科数学2009名师面对面系列丛书(一轮总复习)广州博研图书发展有限公司制作严禁转载违者必究第六章平行向量与解三角形§6.4解斜三角形知识框架考试要求§6.1向量的基本概念及基本运算§6.2平面向量的坐标运算§6.3平面向量的应用举例知识框架向量解斜三角形正弦定理余弦定理解斜三角形向量的有关概念向量的加法与减法实数与向量的积向量的坐标运算线段的定比分点平面向量的数量积及运算律平面向量数量积的坐标表示平移及平移公式向量的坐标运算返回章菜单（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量

2、的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.（2）向量的线性运算①掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义.（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；1.平面向量考试要求②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④理解用坐标表示的平面向量共线的条件.（4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义

3、；②了解平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考试要求（5）向量的应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题.2.解三角形（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考试要求返回章菜单§6.1向量的基本概念及其基本运算知识要点例题剖析知

4、识要点1.既有大小又有方向的量叫向量，向量的大小叫做向量的长度（或称模）.2.长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的.3.模为1的向量叫做单位向量.4.方向相同或相反的非零向量叫平行向量（或共线向量）.5.规定0与任一向量平行.6.长度相等，方向相同的向量叫相等向量.7.长度相等，方向相反的向量叫相反向量.8.向量加法的法则有平行四边形和三角形法则.9.向量的加法满足结合律和交换律，即（a+b）+c=a+(b+c)及a+b=b+a.10.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实

5、数λ,使得b=λa.11.向量数量积的定义(1)向量a与b的夹角：已知两个非零向量a、b，作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做a与b的夹角.当θ=时，a与b垂直，记作a⊥b;当θ=0时，a与b共线且同向；当θ=π时，a与b共线且反向.（2）a与b的数量积：已知两个非零向量a、b,它们的夹角为θ，则把数量

6、a

7、·

8、b

9、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记a·b作，即a·b=

10、a

11、·

12、b

13、cosθ①规定：零向量与任一向量的数量积为零；知识要点②

14、a

15、cosθ(

16、b

17、cosθ)叫做向量

18、a在b方向上（b在a方向上）的投影.12.向量数量积的性质设a、b都是非零向量，夹角为θ，则(1)a⊥ba·b=0;(2)

19、a·b

20、≤

21、a

22、·

23、b

24、（当且仅当a、b共线时取=号）；(3)a·a=

25、a

26、2=a2,

27、a

28、=;(4)cosθ=13.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a（交换律）；知识要点(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)（其中λ∈R);(3)(a+b)·c=a·c+b·c14.平面向量数量积的坐标表示设a=（x1,y1）,b(x2,y2)，则(1)a·b=x1+x2+y1+y2

29、；(2)

30、a

31、=,

32、a-b

33、=;(3)a⊥bx1x2+y1,y2=0.知识要点返回节菜单例题剖析[例1]已知｜a｜=1，｜b｜=2，a与b的夹角为60°，则（a+b）·（a-3b）=.[答案]-13[解析]（a+b）·（a-3b）=a2-2a·b-3b2=1-2｜a｜·｜b｜cos60°-12=-11-2×1×2×=-13.[例2]判断下列各命题是否正确？并说明理由.①若

34、a

35、=

36、b

37、,则a=b或a=-b；②若，则A、B、C、D是一个平行四边形的两个顶点.③若a=b,b=c，则a=c；④若a∥b,b∥

38、c,则a∥c.例题剖析[解析]①错.如a、b是两个夹角为60°的单位向量，有

39、a

40、=

41、b

42、=1,但a≠b,a≠-b；②错.AB=DC得AB与DC共线且

43、AB

44、=

45、DC

46、，A、B、C、D可能在同一条直线上；l③正确；④错.如b=0时，a∥c不一定成立.例题剖析[点评]①零向量在共线向量问题中是一个特例，解概念题时应注意；②考查向量应考查其大小和方向，两者缺一不可.例题剖析[例3]如右图所示，已知G是△ABC的重心，求证：GA+GB=GC=0[证明]法（一）