导数中的多次求导

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1、导数中的多次求导【一次求导型】已知函数.（其中为自然对数的底数）.（Ⅰ）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围；解：（Ⅰ）略（Ⅱ）由得，即有……………………………………【分离变量】令，……………………………………【一次构造】则，……………………………………【一次求导】令，∴在上单调递增，在上单调递减……………………………………【得单调性】∴，……………………………………【取最值】∴……………………………………【结论】【二次求导型】设函数．（Ⅰ） 当时，求函数的单调区间；（Ⅱ） 若对任意恒成立，求实数

2、的最小值．答案：（Ⅰ）略（Ⅱ） 由题意知，在上恒成立，即在区间上恒成立，又，∴在区间上恒成立，……………………………………【分离变量】设，，……………………………………【一次构造】则，……………………………………【一次求导】4又令，，……………………………………【二次构造】则，……………………………………【二次求导】当时，，单调递减，……………………………………【得单调性】∴，…………………………【求最值并与0比较】即在恒成立，所以在单调递增，……………………【说明原函数单调性】∴，故，所以实数的最小值．【二次求导型+零点存在性

3、定理】已知函数有极小值．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值．答案：（Ⅰ）（Ⅱ）当时，，所以设，………………【一次构造】则．……………………………………【一次求导】令．……………………………………【二次构造】因为，……………………………………【二次求导】所以函数在上单调递增，……………………………………【得单调性】又，………………【零点存在性定理】所以在上存在唯一的一个实数根，满足，且，即，所以．当时，，此时，当时，，此时.4所以在时，单调递减，在上单调递增，所以．所以要使对任意恒成立，则，因为，所以要，即的最

4、大值为．【三次求导型】已知函数，且函数的图象与函数的图象在处有公共的切线．（1）求的值；（2）讨论函数的单调性；（3）证明：当时，在区间内恒成立．解：（1）；（2）略；（3）令∵，，∴在单调递减∴（）∴在单调递增∴∴在单调递减∴4【三次求导型+零点存在性定理】已知函数，（）．（1）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由．（参考数据：，,,）.解：（Ⅰ）略；（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.即对恒成立.……

5、………………………………【分离变量】令，……………………………………【构造函数】则，……………………………………【一次求导】则，……………………………………【二次求导】……………………………………【三次求导】因为在上单调递增，……………………………………【得到单调性】，，且的图象在上连续，所以存在，使得，……………………………………【零点存在性定理】即，则，所以当时，单调递减；当时，单调递增，则取到最小值，所以，即在区间内单调递增.，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.4