求导方法 导数

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1、全屏学习大纲要求：１、基本求导公式和求导四则运算法则，反函数求导法则与复合函数求导法则２、初等函数的求导运算３、对数求导法则４、参数表达函数的求导法则以及隐函数求导法则难点：复合函数求导法则的运用内容：　　上一节给出了导数概念之后，我们要做的工作是给了一个函数是否可导，若可导又如何计算，则是本节的内容，我们把这一切称之为函数的微分法。　　注意到连续性讨论时的思想。若对初等函数讨论某一特性时，根据初等函数的概念，只要在基本初等函数上具有些性质，又讨论了函数运算关于此性质的法则，则一切初等函数的关于此性质的问题都解决

2、了。这给我们提供了微分法系统展开的思路。即：１）先按定义寻求基本初等函数的求导公式２）讨论函数运算的求导法则综合解决初等函数的求导运算问题，且导数的存在性也包含其中了，由此，我们的求导运算摆脱了求极限运算，而成为很简单的数学演算。进一步，由于函数的其它表达形式还将给出对数求导法，隐函数求导法和参数表达函数的求导法。它们都可以看成复合函数求导法则的推广应用。一、             利用定义求一些基本初等函数的导数公式　　　　　　　基本初等函数有幂、指、对、三角、反三角五大类若干函数，以下我们仅对其中几个有代表

3、性的函数进行讨论，而其它的再结合反函数法则等推广过去。教材中的常数函数，指数为自然数的幂函数，正弦函数，对数函数，为例做了详细的推导。在这里我仅从宏观的思想步骤结合具体事例进行说明。１、运用导数定义求函数的导数的步骤为１）给出自变量增量２）得出函数增量３）作商４）求极限　　　　　　２、其中难点在极限是不定型，要能运用前面已给的一些求极限运算的充分条件的关键是对的处理上之所以做以上这几个特殊函数，就是因为它们的都可以有初数时互等变形公式。例如１）自然次数幂函数２）正弦函数３）对数函数　　　处理好的这些形式在比上求的

4、极限很简单而借助特殊极限对数函数借助特殊极限很容易求得结果，于是得公式：作为练习，类似地大家可以做二、求导运算关于函数运算的性质１、关于四则运算１）定理3.2若函数都可导，则２）说明：１）证明就是利用导数定义的推演只要能看懂就行。关键在于这些法则的灵活运用。加减法很简单，和差的导数等于各自导数后和差。但是乘法除法就特殊了需要理解和记忆。特别是除法，首先是分母函数平方而分子是两项之差，因减法没交换律，一定要分清减数和被减数。　　２）加减乘都可以推广到n个函数的情况，例如乘法３）数乘性　　作为乘法法则的特例若为常数则

5、这说明常数可任意进出导数符号４）线性性　　　类似极限运算的讨论。求导运算也是满足线性性的，即可加性数乘性，对于n个函数的情况３）运用这些运算法则，在原有的几个求导公式基础上，可推得２．反函数求导法则１）定理3.3　　　　　　　　　　　　若函数严格单调且可导，则其反函数的导数存在且，这一定理的证明第一是的反函数存在，第二若可导证其导数等于其反函数的导数的倒数。２）由反函数求导法则结合前面基本导数公式又可得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　注意这些公式的推导时，难点在变量还原时开方的符号取舍的讨论上。　　　　　　

6、　　３．复合函数求导法则１）定理3.4若在点可导在相应的点也可导，则其复合函数在点可导且或记为。２）说明对于此定理的证明，分析一下：给自变量一个增量通过得到中间变量的一个增量进而又通过外层函数得到函数的增量将其比起来可见由于可导必连续，即时两边取极限又注意到和都存在，即　　　　　　　　　　　　　　　　　这一证明很简单且清晰，为什么教材中Ｐ105的证明如此复杂繁琐？实际上这里的证明有问题，问题出在自变量增量是规定的，以此得到的中间变量增量完全可能为０，若，以上的比值就得不到，教材中的证明繁琐就是要解决这一问题。这里

7、说明仅是提醒大家，严密的数学证明有时是很麻烦的。只不过对于我们证明过程并不重要。主要是要会用此结论。　　　　　　　　　　　　　　推广　　　　　　　　　　　　　　　　　如果一个函数有三次复合，且都是可导的,复合函数的导数为利用数学归纳法可以证明n次复合的求导原则。从公式的结构看犹如从外向内一层层地进行其结果也是系链子一样一环扣一环的连乘积，所以常把它称为链锁规则。这里导数的符号上有个容易引起混淆的问题。若复合函数其导数，很容易引起混乱。可见此时的Leibniz符号更好。。求导运算是哪个函数关于哪个变量变化下的运算问

8、题与此变量无关的变量是被认为无关的常量在此运算下是不变的。Leibniz符号就很难准确和清楚。这在变量符更多的时候更显其优越。强调注意这一问题并非仅仅是个形式上的问题，而是能否正确运用此法则顺利进行求导计算的关键之一，而另一个关键在于对复合函数的分解，怎样的分解才合理，必须以基本初等函数幂、指、对、三角、反三角的函数符为基准。例如　　　　　　　　　　　　　　　　解：可看成