局部改变量的估值问题——微分及其运算

《局部改变量的估值问题——微分及其运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§3.3局部改变量的估值问题——微分及其运算3.1微分一、微分的概念二、微分的几何意义一、微分概念实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量设边长由x变到x+x正方形面积S=x2S=(x+x)2x2=2xx+(x)2(1)(2)xx(x)2xxxxS=x2xx(1):x的线性函数(2):x的高阶无穷小,当

2、x

3、很小时可忽略为S的主要部分2xxS=x2的微分设函数y=f(x)在点x处有增量x,若相应的函数增量y可表示成y=Ax+o(x),其中A与x无关,Ax称为y的线性主

4、部,o(x)是关于x的高阶无穷小,则称函数y=f(x)在点x可微,并称Ax为函数y=f(x)在点x处的微分,记作dy或df(x),即dy=df(x)=Ax定义有y=dy+o(x)由定义知:(1)dy是自变量的改变量x的线性函数(2)ydy=o(x)是比x高阶无穷小(3)当A0时,dy与y是等价无穷小1(x0)(4)A与x无关,但与f(x)和x有关(5)当

5、x

6、很小时,ydy(线性主部)函数f(x)在点x可微函数f(x)在点x可导,且A=f(x)定理[证]必要性:∵f(x)在点

7、x可微∴y=Ax+o(x)=A即函数f(x)在点x可导,且A=f(x)充分性:∵f(x)在点x可导从而y=f(x)x+x=f(x)x+o(x)∵0(x0)即函数f(x)在点x可微∴可导可微A=f(x)于是,微分dy=Ax可写成dy=f(x)x通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,记作dx,即dx=x∵令y=xdy=dx=yx=xx=x于是,微分进一步可写成:dy=f(x)dx二、微分的几何意义如图,即y是曲线的纵坐标增量时,dy就是切线纵坐标对应的增量dy

8、yT）M0x0yoxy=f(x)NMx0+xf(x0)=tano(x)思考题由于函数y=f(x)在x的可微性与可导性是等价的,所以有人说“微分就是导数,导数就是微分”,这说法对吗？解答:说法不对从概念上讲,微分是从求函数增量引出线性主部而得到的,导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量之比的极限,它们是完全不同的概念3.2微分公式和法则一、导数公式和微分公式二、导数法则和微分法则微分的求法:dy=ydx即计算函数的导数,乘以自变量的微分求导数和求微分的方法统称为微分法一、导数公式和微分公式(1)(C)

9、=0d(C)=0(2)(x)=x1d(x)=x1dx(4)(ax)=axlnad(ax)=axlnadx(ex)=axd(ex)=exdx(5)(sinx)=cosxd(sinx)=cosxdx(cosx)=sinxd(cosx)=sinxdx(tanx)=sec2xd(tanx)=sec2xdx(cotx)=csc2xd(cotx)=csc2xdx(secx)=secxtanxd(secx)=secxtanxdx(cscx)=cscxcotxd(cscx)=cscxco

10、txdx二、导数法则和微分法则(1)(uv)=uvd(uv)=dudv(2)(uv)=uv+uvd(uv)=vdu+udv(Cv)=Cvd(Cv)=Cdv(4)yx=yuuxdy=yuuxdx例1.设解例2.设y=xtanx－sinx，求dy.解注意，当然也可以直接用公式求微分.例3.求解:例4.设解例5.设y=e3vcos2v.求dy.解：3.3微分在近似计算中的应用一、计算函数增量的近似值二、计算函数值的近似值一、计算函数增量的近似值ydy=f(x)x例1半径10厘米的金属

11、圆片加热后半径伸长了0.05厘米,问面积增大了多少?解:r=10厘米r=0.05厘米S=r2∴SdS=2rr=2100.05=(厘米)2二、计算函数值的近似值y=f(x+x)f(x)f(x)xf(x+x)f(x)+f(x)x可用于计算函数y=f(x)在点x0附近点x0+x处函数值的近似值或f(x0+x)f(x0)+f(x0)x例2计算cos6030的近似值解:设f(x)=cosxf(x)=sinx(x为弧度)0.4924例3求的近似值解:设∵x0=1x=

12、0.02∴f(1)=1f(1)+f(1)0.021.0067