对面积的曲面积分(VIII)

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1、第四节对面积的曲面积分Chapter11一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法1弧段为AB,其线密度为此构件的质量为曲线形构件在平面所占一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度求质量M.其中,表示n小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两最大值点间距离的最大者).21.定义所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面,且当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动.3据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为1.定义4则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积

2、分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面5定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知6而(光滑)证明:由定义知7则则则类似也有:8例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:9思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则10例2.计算其中是由平面三个坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面11例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xOy面上的投影域为则12例

3、3.设计算解:13内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)14思考与练习P219题1；3；4(1);7解答提示:P219题1.P219题3.设则P246题215P219题4(1).在xOy面上的投影域为这是的面积!16P220题7.如图所示,有17P246题2.限中的部分,则有().(2000考研)18作业P2194(3);5(2);6(1),(3),(4);819备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z=1以上部分的的面密度质量M.解:在xOy面上的投影为故202.设是四面体面,计算解:在四面体的四个面上同上平面方程投

4、影域21同上平面方程投影域22