D114对面积曲面积分(VIII)

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1、第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分第十一章一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).最大值定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称

2、此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知而(光滑)说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的

3、顶部.解:思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,则例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面例3.计算其中是球面利用对称性可知解:显然球心为半径为利用重心公式例4.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.例5.求椭圆柱面位于xOy面上方及平面z=y下方那部分柱面的侧面积S.解:取内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用柱面坐标、对称性、球面坐标*、质心公式简化计算的技巧.思考与练习P21

4、9-220题3；4(1);解答提示:P219题3.设则P246题2P217题4(1).在xOy面上的投影域为这是的面积!P220题7.如图所示,有P246题2.限中的部分,则有().(2000考研)作业P2194(3);5(2);6(2),(4);第五节备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z=1以上部分的的面密度质量M.解:在xOy面上的投影为故