D114对面积曲面积分

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1、第十一章第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法目录上页下页返回结束一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度(x,y,z),求质量M.类似求平面薄板质量的思想,采用z(k,k,k)“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,可得nMlim(k,k,k)Sk0k1Oy其中,表示n小块曲面的直径的x最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).目录上页下页返回结束定义:设为光滑曲面,f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,若对做任意分割和局部区域任意取点,“乘积和式极限”nlim记

2、作f(x,y,z)dS0f(k,k,k)Skk1都存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,y,z)叫做被积函数,叫做积分曲面.据此定义,曲面形构件的质量为M(x,y,z)dS曲面面积为SdS目录上页下页返回结束对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若f(x,y,z)在光滑曲面上连续,则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面1,2,则有f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS12•

3、线性性质.设k,k为常数,则12k1f(x,y,z)k2g(x,y,z)dSk1f(x,y,z)dSk2g(x,y,z)dS目录上页下页返回结束二、对面积的曲面积分的计算法z定理:设有光滑曲面:zz(x,y),(x,y)Dxyf(x,y,z)在上连续,则曲面积分Oyf(x,y,z)dS存在,且有xDxyddSf(x,y,z)dS22f(x,y,z(x,y))1zx(x,y)zy(x,y)dxdyDxy目录上页下页返回结束说明:1)如果曲面方程为xx(y,z),(y,z)Dyz或yy(x,z),(x,z)Dxz可有类

4、似的公式.2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.目录上页下页返回结束dS222例1.计算曲面积分,其中是球面xyzz2被平面zh(0ha)截出的顶部.a222z解::zaxy,(x,y)Dxy2222hDxy:xyahaOy1z2z2Dxyaxy222axyxdSadxdy2πa2h2rdrD222adzxyaxy00a2r222122aha2πaln(ar)2πaln20h目录上页下页返回结束例2.计算xyzdS,其

5、中是由平面xyz1与坐标面所围成的四面体的表面.z解:设1,2,3,4分别表示在平面1x0,y0,z0,xyz1上的部分,则O1y1原式=xyzdSx1234xyzdS40y1x4:z1xy,(x,y)Dxy:0x111x3xdxy(1xy)dy300120目录上页下页返回结束例3计算(xyz)ds,其中为平面yz5被22柱面xy25所截得的部分.解积分曲面：z5y,22投影域：Dxy{(x,y)

6、xy25}22dS1zz

7、dxdyxy210(1)dxdy2dxdy,故(xyz)ds2(xy5y)dxdyDxy2(5x)dxdy25dxdy1252.DxyDxy目录上页下页返回结束内容小结n1.定义:f(x,y,z)dSlimf(i,i,i)Si0i12.计算:设:zz(x,y),(x,y)Dxy,则f(x,y,z)dSf(x,y,z(x,y))1z2z2dxdyDxyxy(曲面的其他两种情况类似)目录上页下页返回结束作业P2174(2);5(1);6(1),(3)第五节目录上页下页返回结束思考:2222若

8、是球面xyza被平行平面z=±h截出的上下两部分,则zdS(0)hzOdSay(4πaln)xzhh目录上页下页返回结束2222z例4.设:xyza12222xy,当zxyf(x,y,z)22Oy0，当zxyDxyx计算If(x,y,z)dS.解:锥面zx2y2与上半球面222的zaxy交线为x2y21a2,z1a.22设1为上半球面夹于锥面间的部分,它在xOy面上的投影域为D