对曲面的积分求面积.ppt

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1、第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质“大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分

2、割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分证明:由定义知而(光滑)化曲面积分为二重积分设曲面的方程为zz(xy)在xOy面上的投影区域为Dxy函数zz(xy)在Dxy上具有连

3、续偏导数被积函数f(xyz)在上连续则讨论如果积分曲面由方程yy(zx)给出或由xx(yz)给出那么f(xyz)在上对面积的曲线面积分如何计算?提示对于yy(zx)有化曲面积分为二重积分要点：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元投影：将曲面投影到坐标面得投影区域注：（1）这里积分曲面的方程必须是单值显函数，否则可利用可加性，分块计算，结果相加（2）把曲面投影到哪一个坐标面，取决于曲面方程即方程的表达形式（3）将曲面的方程代入被积函数的目的和意义是

4、把被积函数化为二元函数例1.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:例2.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则与原式=分别表示在平面例3计算与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面解在xoy内的投影区域oxyz例3计算与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面解oxyz例3.设计算解:锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则思考与练习P219题1；3；4(1);解答提示:P219题1.P219题3.设则P219题4(1).在xoy面上的投影域为

5、这是的面积!作业：p-219习题11-44(3);5(2);6(1),(3),(4);