线性系统的时域分析法《自动控制原理》

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1、第三章线性系统的时域分析法3-1系统时间响应的性能指标一﹑典型输入信号工程上经常碰到的典型输入信号有以下几种:(1)阶跃信号(阶跃函数)其数学表达式和图形为:上式中R为常数,当t=0时,r(0)不定,且当R=1时,称为单位阶跃信号,记为1(t).(2)等速度信号(斜坡函数)其数学表达式和图形为:上式中R为常数,当R=1时,称为单位等速度信号.(3)等加速度信号(抛物线函数)其数学表达式和图形为:上式中R为常数,当R=1时,称为单位等加速度信号.(4)脉冲信号(脉冲函数)先看下面图型:具有左图形状的信号被称为矩型脉动信号,其数学表达式为:由图可见,脉动信号的面积为R.当脉动信号的宽度

2、时,其高度为,但面积乃为R.把宽度时的矩型脉动信号定义为脉冲信号,而其面积R称为脉冲信号的脉冲强度.当R=1时,叫做单位脉冲信号,用表示,其数学表达式为而其面积为:单位脉冲信号用下图表示:强度不为1而为R的脉冲信号用表示.(5)正弦信号(正弦函数)其数学表达式为:(6)信号的延迟假如有两个信号如下左图所示,曲线和曲线的形状完全一样,只不过前者比后者延迟了时间才发生,曲线可用如下数学式表达:上式中是单位阶跃信号延迟时间才发生,图形见上面右图.二﹑动态性能指标系统的动态性能指标,是在系统的输入为单位阶跃信号时,对系统的输出进行定义的.系统在单位阶跃信号作用下的输出随时间的变化,叫系统的

3、单位阶跃响应,常用h(t)表示.稳定的系统,其h(t)的变化曲线见下图:其动态性能指标有如下几项:(1)延迟时间:响应曲线第一次达到其稳态值一半所需的时间.如下图所示.(2)上升时间:响应曲线无振荡时定义为响应从其稳态值的10%上升到其稳态值的90%所需的时间.如上图所示.响应曲线有振荡时定义为响应从0第一次上升到其稳态值所需的时间.如上图所示.(3)峰值时间:响应超过其稳态值到达第一个峰值所需的时间.如下图所示.(4)调节时间(过渡过程时间):响应到达并保持在稳态值的±5%或±2%误差范围内所需的最短时间.如上图所示.(5)最大超调量:响应的最大值与稳态值之差,即如下图所示.(6

4、)最大百分比超调量:定义为3-2一阶系统的动态性能分析典型一阶系统的结构图如下所示:其闭环传递函数为:,当时,则h(t)曲线见上右图,经分析可得下面结论:,故叫非周期响应,无超调.3-3二阶系统的时域分析典型二阶系统的结构图如下所示,其闭环传递函数为:具有上述形式传递函数的典型二阶系统叫无零点的二阶系统,其时间响应取决于和两个参量,极点为:叫无阻尼自然振荡角频率,单位为弧度/秒.叫阻尼系数,当叫无阻尼,叫临界阻尼,叫欠阻尼,下面主要讨论欠阻尼时的动态性能,欠阻尼时系统的两个极点为:上式中,叫衰减系数,叫阻尼振荡角频率,两个极点在s平面上的分布如下图所示,图中以顺时针方向为计量角度的

5、正方向,当输入为单位阶跃信号时,输出的拉氏变换表达式为:叫过阻尼,对前式进行部分分式得:对上式进行拉氏反变换得单位阶跃响应为:由上一屏的表达式可见,无零点的典型二阶系统在欠阻尼情况下,其输出是衰减振荡的,其曲线随值的不同而有一簇,见教材P.87图3-10.根据动态性能指标的定义,推导各项动态性能指标的计算公式.(1)延迟时间:由定义,令,下面由,代入上式利用计算方法中的曲线拟合法,可得:其关系曲线见教材P.88图3-12.(2)上升时间:因输出有振荡,由定义,令得:因在时刻所以由得:(3)峰值时间:由定义,令得:所以(4)最大超调量:由定义,(5)最大百分比超调量:由定义,(6)调

6、节时间(过渡过程时间):由定义,因为误差信号是幅值衰减的正弦曲线,如右图所示.而幅值表达式是幅值衰减的正弦曲线的按指数规律衰减的包络线,如下图红色虚线所示.由图可见,只要误差曲线的包络线即到达调节时间,则对上式求解得:当时.当误差带时,同理可得三﹑二阶系统性能的改善下图闭环是一典型的二阶系统,而其开环为一型,故其速度误差系数若欲使则而使有二条途经:一是使上升,从而导致均下降,但使有阻尼振荡频率上升,但不能使下降.二是使下降,则虽上升,但导致均上升,使动态性能变坏.可见,单靠调整系统本身的固有参数,已无法同时满足系统对稳态和动态性能的要求,必须另加装置,采用其它控制方法来改善系统的动

7、态性能和稳态性能.(1)比例—微分控制比例—微分控制的结构图如下所示:由上图可得,其开环传递函数而其闭环传递函数令,则为一带有零点的二阶系统,其动态性能指标的求取公式请见教材P.97—P.98,下面仅定性讨论比例—微分控制对系统性能的影响.若欲使系统的稳态误差值下降,可使下降,则上升,满足系统对稳态误差值的要求.因下降而导致的下降可通过调整参数给以弥补,从而使系统同时满足预定的稳态和动态性能的要求.(2)测速反馈控制测速反馈控制的结构图如下所示:由上图可得,其开环传递