复合函数的求导法则(IV)

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1、1.4.1复合函数的求导法则一、一元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的求导法则三、小结1.4函数的求导法则1湘潭大学数学与计算科学学院定理即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)一、一元复合函数的求导法则2湘潭大学数学与计算科学学院证3湘潭大学数学与计算科学学院例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.4湘潭大学数学与计算科学学院例1解例2解5湘潭大学数学与计算科学学院例3解例4解6湘潭大学数学与计算

2、科学学院解(1)(2)例4利用链式法则求下列导数:7湘潭大学数学与计算科学学院求解思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同例5设8湘潭大学数学与计算科学学院二、多元复合函数的求导法则这个复合过程，1.下面先讨论中间变量是一元函数的情况可以形象的用一条链来描述：9湘潭大学数学与计算科学学院证10湘潭大学数学与计算科学学院11湘潭大学数学与计算科学学院定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如以上公式中的导数称为全导数.12湘潭大学数学与计算科学学院这个复合过程，可以形象的用一条链来描述：2.

3、下面讨论中间变量是多元函数的情况13湘潭大学数学与计算科学学院14湘潭大学数学与计算科学学院链式法则如图示15湘潭大学数学与计算科学学院类似地再推广，设都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，复合函数在点(x,y)的两个偏导数存在，并且有16湘潭大学数学与计算科学学院若其中则复合函数对x的偏导数式中左边的与右边的一样吗?17湘潭大学数学与计算科学学院特殊地即令其中两者的区别区别类似18湘潭大学数学与计算科学学院解19湘潭大学数学与计算科学学院解20湘潭大学数学与计算科学学院解令记同理有21湘潭大学数

4、学与计算科学学院于是22湘潭大学数学与计算科学学院链式法则的记忆口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导.23湘潭大学数学与计算科学学院例9设解设24湘潭大学数学与计算科学学院例10设解25湘潭大学数学与计算科学学院无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变性全微分形式不变形的实质：26湘潭大学数学与计算科学学院27湘潭大学数学与计算科学学院解28湘潭大学数学与计算科学学院1、链式法则（分三种情况）2、全微分形式不变性（特别要注意课中所讲的特殊情况

5、）（理解其实质）三、小结29湘潭大学数学与计算科学学院思考题：1.已知求解由两边对x求导,得30湘潭大学数学与计算科学学院求在点处可微,且设函数解由题设(2001考研)2.31湘潭大学数学与计算科学学院32湘潭大学数学与计算科学学院作业习题1.4P59-61A组1(1)、(3)、(4)，2(2)、(4)3(1)、(3)5B组1，2，,333湘潭大学数学与计算科学学院