复合函数的求导法则

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1、复合函数的求导法则定理2设函数y=f(u)，u=j(x)均可导，则复合函数y=f(j(x))也可导.且或或证：　设变量x有增量Dx，相应地变量u有增量Du，从而y有增量Dy.由于u可导，即推论设y=f(u)，u=j(v)，v=y(x)均可导，则复合函数y=f[j(y(x))]也可导，且例1设y=(2x+1)5，求y¢.解　把2x+1看成中间变量u，将y=(2x+1)5看成是y=u5，u=2x+1复合而成，由于所以例2设y=sin2x，求y¢.解　这个函数可以看成是y=sinx·sinx,可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.将y=si

2、n2x看成是由y=u2，u=sinx复合而成.而所以例3设y=sin3x，求.解：例4设y=lncosx，求解：例5设解：例6设y=etanx，求y¢.解y=etanx可以看成是由y=eu，u=tanx复合而成，所以复合函数求导数熟练后，中间变量可以不必写出.例7求y¢.解例8设f(x)=arcsin(x2)，求f¢(x).解例9求y¢.解例10求y¢.解例11求y¢.解　先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.例12设y=sin(xlnx)，求y¢.解　先用复合函数求导公式，再用乘法公式y¢=cos(xlnx)·(xlnx)¢=c

3、os(xlnx)·(x·(lnx)¢+x¢lnx)=(1+lnx)cos(xlnx).例13解　先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数的求导.补证一下(xa)¢=所以(xa)¢=(ealnx)¢=ealnx·(alnx)¢