复合函数求导法则

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1、一、复合函数的求导法则定理2如果函数在点x处可导,而函数对应的点处可导,那么复合函数也在点处可导,且有或=.证当自变的改变量为时,对应的函数与的改变量分别为和．由于函数可导,即存在,于是由无穷小与函数极限的关系,有,其中是时的无穷小,以乘以上式两边得于是.因为在点处可导,又根据函数在某点可导必在该点连续,可知在点处也是连续的,故有.且当时,从而．所以即,或记为.3复合函数的求导法则上式说明复合函数对的导数时,可先求出对的导数和对的导数,然后相乘即得．显然,以上法则也可用于多次复合的情形．例如,设,,都可导,则,或记为.例1求的导数．解函数可

2、以看作由函数与复合而成．因此。例2求函数的导数解次函数可看作由函数复合而成。因此对于复合函数的分解比较熟悉后,就不必再写出中间变量,而可以采用下列例题的方式来计算．例3求函数的导数．解：3复合函数的求导法则【课堂练习】1．一个中间变量的情形例1求下列函数的导数。（1）y=(2x+1)5（2）y=（3）y=sin2x（4）y=sin(x2)（5）y=lncosx（6）y=（7）y=（8）y=2．多个中间变量的情形例2求下列函数的导数。（1）y=lnsin（2）y=（3）y=tanln(3x-1)3．不写出中间变量，直接利用复合函数求导法则求例

3、1、例2的导数。4．综合应用例3求下列函数的导数。（1）（2）y=（3）y=（4）y=（5）y=sin(xlnx)（6）y=【小结】本节课，我们学习了复合函数的求导法则，请同学们注意他的特点，尽快消化掌握。【课后习题】3复合函数的求导法则