复合函数求导法则(VII)

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1、§9.3内容回顾1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续可微例如易知但因此,函数在点(0,0)不可微.(不存在)一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则§9.4多元复合函数的求导法则第九章全微分形式不变性及不变性一、多元复合函数求导的链式法则定理1.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t取增量△t,则相应中间变量且有链式法则有增量△u,△v,(称全导数公式)推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都可微.2)中间变量是多元函数的情形.例如,又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y

2、对x求导,表示固定v对x求导口诀:连线相乘,分线相加,单路求导,叉路偏导.与不同,例1.设解:例2.解:可代入后再求例3.设求全导数解:注意：1.非抽象复合函数的求导,可先带入中间变量再求导.2.多元抽象复合函数求导,要注意这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见,引入记号例4.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则(可不设出中间变量)例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:极坐标系下的形式(1),则二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.例1.例6.利用全微分形式不变性再解例1.解

3、:所以由方程确定,f,F均具有一阶连续偏导数.证明:证:两边求微分得，⑴两边求微分得，(2)并解出内容小结1.复合函数求导的链式法则“连线相乘,分线相加,单路求导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,作业17,18求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)备用题解答提示:P82题7思考与练习P82题7;8(2);P131题11所以…P82题8(2)P131题11