自动控制原理 李冰 徐秋景 曾凡菊 第7章 系统稳定性分析

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1、第7章系统稳定性分析12021/7/14第7章系统稳定性分析27.1系统稳定性的基本概念本章内容7.2线性定常系统稳定的充要条件7.3劳斯稳定判据7.4奈奎斯特稳定判据7.5对数频率特性的稳定判据7.6系统的相对稳定性分析7.7Matlab在系统稳定性分析中的应用引言一个控制系统，如果受到外界因素或自身内部的干扰（例如负载的波动、系统参数的变化等），就可能会偏离原来的正常工作状态，并且可能会越偏越远，而在扰动消失后，也不能恢复到原来状态，这类现象称为系统的不稳定现象。显然，一个不稳定的系统是无法工作的，也没有任何实用价值。稳定性是控制系统的重要性能，是系统能够正常工作的首

2、要条件。因此，分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一，在自动控制理论中占有极重要的位置。2021/7/14第7章系统稳定性分析37.1系统稳定性的基本概念对于一个系统来说，一旦受到扰动的作用，就会使系统偏离原来的平衡状态，产生一定的初始偏差。所谓系统的稳定性，就是指作用到系统的扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原来平衡状态的性能。在自动控制理论中，有多种稳定性的定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性的定义。2021/7/14第7章系统稳定性分析47.1系统稳定性的基本概念2021/7/14第7章系统稳定性分析5图7-1单摆运动示

3、意图Af图7-2不稳定系统图7-3小范围稳定系统dfcA图7－3中，小球超出了C、D范围后系统就不再是线性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。图7－1为稳定的系统。图7－2为不稳定系统。7.1系统稳定性的基本概念线性控制系统的稳定性可以叙述如下：若线性控制系统在初始扰动的作用下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减，并趋于零（即原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；若在初始扰动作用下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。2021/7/14第7章系统稳定性分析67.2线性定常系统稳定的充要条件当线性定常系统的输入信号r(t)=0时，则输出信号c(t)=0

4、，即为系统的平衡工作点。当有扰动信号作用于系统时，系统的输出就会产生偏差，也就是说，会使得c(t)不再为零。假设扰动信号消失的时间为t=0时刻，那么如果系统稳定，则输出c(t)会随着时间的推移而逐渐回到原平衡工作点，也就是c(t)=0的位置，即满足2021/7/14第7章系统稳定性分析77.2线性定常系统稳定的充要条件设n阶线性定常系统的微分方程为若初始条件为零，对上式进行拉普拉斯变换，得2021/7/14第7章系统稳定性分析87.2线性定常系统稳定的充要条件系统的闭环传函数为若考虑初始条件不为零，对上式进行拉普拉斯变换，得其中，N0(s)是由初始条件（i=0,1,2,…

5、,n-1）有关的s的多项式。2021/7/14第7章系统稳定性分析97.2线性定常系统稳定的充要条件根据稳定性的定义，应该研究的是输入信号没有作用的情况下系统的时间响应。因此，可以取R(s)=0，则上式可变为其中为C0(s)为在初始状态影响下系统的时间响应（即零输入响应）；称为系统的特征多项式，也是系统闭环传递函数的分母多项式；称为系统的特征方程。C0(s)的极点也是系统闭环传递函数的极点，称为系统的特征根。2021/7/14第7章系统稳定性分析107.2线性定常系统稳定的充要条件设系统特征方程D(s)=0的根（即系统的特征根）为pi，其中pi可以为单根、重根、实根或复根

6、，则上式可变换为式中，q+2r=n，Ai,Bk,Ck为待定系数。2021/7/14第7章系统稳定性分析117.2线性定常系统稳定的充要条件对上式进行拉普拉斯反变换，可得系统的零输入响应为根据稳定性的定义，若要系统稳定，则需满足当时间t趋于无穷时，系统的输出c(t)要趋于零。2021/7/14第7章系统稳定性分析127.2线性定常系统稳定的充要条件如果想要使c(t)趋于零，需要满足pi<0，即系统的特征根是负的，无论是实根还是共轭复根。如果在系统的特征方程中，只要含有一个或一个以上的正实根或正实部的复根，则系统就不会再次回到原平衡状态，系统就是不稳定的。2021/7/14第

7、7章系统稳定性分析137.2线性定常系统稳定的充要条件由此可知，线性定常系统稳定的充分必要条件是：系统的特征根全都具有负实部，或者说闭环传递函数的极点全部分布在复平面的左半部。2021/7/14第7章系统稳定性分析147.2线性定常系统稳定的充要条件对于系统的稳定性，需要强调以下几点：（1）线性系统的稳定性是是其本身的固有特性，它只与系统自身的结构和参数有关，与初始条件和外界输入信号无关。（2）对于线性定常系统来说，如果系统不稳定，那么对其数学模型而言，其输出信号将随时间的推移而无限增大；但是对实际的物理系统来说，如果系统不稳