自动控制原理 李冰 徐秋景 曾凡菊 第2章 数学基础

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1、第2章数学基础12021/8/282.1拉普拉斯变换本章内容2.2拉普拉斯反变换2.3Matlab运算基础第2章数学基础22.1拉普拉斯变换2.1.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换可将时域函数f(t)变换为频域函数F(s)。只要f(t)在区间[0,∞]有定义，则有2021/8/28第2章数学基础32.1拉普拉斯变换上式是拉氏变换的定义式。由定义式可知：一个时域函数通过拉氏变换可成为一个复频域函数。式中的e-st称为收敛因子，收敛因子中的s=+j是一个复数形式的频率，称为复频率，其实部恒为正，虚部既可为正、为负，也可为零。上式左边的F(s)称为复频域函数，是时域函数f(t)的

2、拉氏变换，F(s)也叫做f(t)的象函数。记作2021/8/28第2章数学基础42.1拉普拉斯变换【例2-1】求单位阶跃函数、单位冲激函数、指数函数的象函数。解：2021/8/28第2章数学基础52.1拉普拉斯变换2.1.2拉普拉斯变换的性质1．线性性质设函数和函数的象函数分别为和，和是两个任意的实数，则2021/8/28第2章数学基础62.1拉普拉斯变换2．微分性质函数的象函数与其导数的象函数之间有如下关系：若：则有：2021/8/28第2章数学基础72.1拉普拉斯变换3．积分性质函数的象函数与其积分的象函数之间满足如下关系：若：则有：2021/8/28第2章数学基础82.1

3、拉普拉斯变换4．延迟性质函数的象函数与其延迟函数的象函数之间有如下关系：若：则有：2021/8/28第2章数学基础92.1拉普拉斯变换5．终值定理函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则的终值为：2021/8/28第2章数学基础102.1拉普拉斯变换6．初值定理函数及其一阶导数都是可拉氏变换的，则的初值为：2021/8/28第2章数学基础112.1拉普拉斯变换7．卷积性质卷积的定义为：若和可以进行拉氏变换，称积分为和的卷积。记为，即2021/8/28第2章数学基础122.1拉普拉斯变换卷积定理为：若，，则：即，两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。卷积性质在求解拉式反变换

4、的时候，起着十分重要的作用。2021/8/28第2章数学基础132.2拉普拉斯反变换2.2.1拉普拉斯反变换的定义拉式反变换的定义如下：式中σ为正的有限常数。通常可用符号表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换，记作2021/8/28第2章数学基础142.2拉普拉斯反变换2.2.2拉普拉斯反变换的部分分式展开自动控制系统的响应的象函数F(s)通常可以表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理分式：其中m和n为正整数，且n≥m。2021/8/28第2章数学基础152.2拉普拉斯反变换把上式F(s)分解成若干简单项之和，需要对分母多项式作因式分解，求出D(s)=0的根，可以有三种

5、情况：D(s)=0有n个单根D(s)=0有重根D(s)=0有共轭复根2021/8/28第2章数学基础162.2拉普拉斯反变换1、D(s)=0有n个单根设n个单根分别为p1,p2，…,pn，于是F(s)可以展开为：式中，k1,k2，…,kn为待定系数。2021/8/28第2章数学基础172.2拉普拉斯反变换待定系数确定方法：上式两边同乘以，得令，等式除右边第一项外其余都变为零，即可求得同理，可求得其余的系数。2021/8/28第2章数学基础182.2拉普拉斯反变换待定系数确定之后，对应的原函数求解公式为：2021/8/28第2章数学基础192.2拉普拉斯反变换【例2-1】求的原函

6、数f(t)。解：的两个根为：,代入公式得2021/8/28第2章数学基础202.2拉普拉斯反变换得到象函数为：得到原函数为：2021/8/28第2章数学基础212.2拉普拉斯反变换2、D(s)=0有重根设p1为D(s)=0的重根，其余的全部都为单根，则F(s)可以分解为对于单根，仍然采用前面的方法计算。2021/8/28第2章数学基础222.2拉普拉斯反变换对于和，则需要用到下式：由上式把单独分离出来，可得：再对式上中的s求一阶导数，分离，得2021/8/28第2章数学基础232.2拉普拉斯反变换如果D(s)=0具有q阶重根时，其余为单根时的分解式为式中……2021/8/28第

7、2章数学基础242.2拉普拉斯反变换【例2-2】求的原函数f(t)解：令=0重根为p1=0，单根为p2=-22021/8/28第2章数学基础252.2拉普拉斯反变换2021/8/28第2章数学基础262.2拉普拉斯反变换得到象函数为：得到原函数为：2021/8/28第2章数学基础272.2拉普拉斯反变换3、D(s)=0有共轭复根设共轭复根为，则2021/8/28第2章数学基础282.2拉普拉斯反变换由于F(s)是实系数多项式之比，故k1和k2也为共轭复数。设，则，有2021/8/28第2章数