圆的方程及其性质专题(教师版)

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1、圆的方程及其性质专题1.知识点：①圆的定义：动点到定点的距离相等的所有点的集合。②圆的标准方程：③圆的一般方程：④圆的参数方程⑤关于参数方程与普通方程并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组（1），称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间的变数t称为参变数，简称参数。⑥点与圆的位置关系⑦直线与圆⑧弦长公式、切线方程：⑨圆与圆的位置关系设圆心距为d，两圆半径分别为r1和r2，【典型例题】例1.求过点A（2，－3），B（－2，－5）且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程。解法1：解法2：小结：解法1利用了待定系数法，解法2利

2、用了圆的几何性质。这两种方法在解析几何中经常用到，要注意选择恰当的方法。例2.已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径。解法1：解法2：例3求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．∴圆的方程为．又∵该圆过、两点．∴解

3、之得：，．所以所求圆的方程为．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．又知圆心在直线上，故圆心坐标为∴半径．故所求圆的方程为．又点到圆心的距离为．∴点在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例4当m为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切、相离.分析一(判别式法)将

4、y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0∵△=4m(3m+4)当△=0时，得m=0或m=-时，直线与圆相切.当△＞0时,得m＞0或m＜-时，直线与圆相交.当△＜0时，得-＜m＜0时，直线与圆相离.分析二(几何法)由已知得圆心坐标为(2，1)半径r=2，圆心(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==当d=2时，即m=0或m=-时，相切当d＞2时，即-＜m＜0时，相离当d＜2时，即m＞0或m＜-时，相交例5　已知圆，求过点与圆相切的切线．解：∵点不在圆上，∴切线的直线方程可设为根据∴解得所以即因为过圆外一

5、点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用，求出切点坐标、的值来解决，此时没有漏解．例6.自点P（－3，3）发出的光线l经x轴反射，其反射线所在直线正好与圆解法1：解法2：斜率k待定）。由题设知对称圆的圆心C'（2，－2）到这条直线的距离等于1，例7已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R)(1)证明：不论m取什么实数，直线

6、l与圆C恒相交.(2)求直线l被圆C截得的弦长最短的长度及此时的直线方程.分析若按常规思路只须证圆心O(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可.但注意到直线l的方程可变形为x+y-4+m(2x+y-7)=0，则可知直线l恒过定点(3，1)，如果该定点在圆内，问题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=5＜25∴点(3，1)在圆内这样，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.(2)由(1)的结论可知直线l过定点M(3，1)，且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长｜AB｜最短.∵｜MO｜==且r=5∴弦长=2·=4此时kl=-∴-=-=2∴m=-代入直线l得方程2x

7、-y-5=0例8设点是圆是任一点，求的取值范围．分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替、，转化为三角问题来解决．解法一：设圆上任一点则有，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．分析二：的几何意义是过圆上一动点和定点的连线的斜率，利用此直线与圆有公共点，可确定出的取值范围．解法二：由得：，此直线与圆有公共点，故点到直线的距离．∴解得：．另外，直线与圆的公共点还可以这样来处理：由消去后得：，此方程有实根，故，解之得：．说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．