双曲线的标准方程及其几何性质(教师版)

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1、双曲线的标准方程及其几何性质读读教材1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．(2)集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、MF2

9、

10、＝2a}，

11、F1F2

12、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0；①当________时，点P的轨迹是双曲线；②当________时，点P的轨迹是________；③当________时，点P不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质图形标准方程________(a>0，b>0)_______(a

13、>0，b>0)范围x2≥a2y2≥a2对称性对称轴：________，对称中心：________顶点顶点坐标：A1___，A2______顶点坐标：A1，A2渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝________，e∈________a，b，c的关系c2＝________实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

14、A1A2

15、＝________；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

16、B1B2

17、＝________；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长.练练基础1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)方程mx2＋ny2＝1(mn<0)表示的曲线是双曲线．(　√　)(

18、2)双曲线的离心率越小，双曲线的开口越宽阔．(　×　)(3)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1.(本题中的两条双曲线称为共轭双曲线)(　√　)(4)双曲线上的点P和两个焦点F1，F2所构成的三角形称为双曲线的焦点三角形．若∠F1PF2＝α，则S△F1PF2＝.(√)　2．设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若

19、PF1

20、＝3，则

21、PF2

22、＝(　　)A．1或5　　B.6C．7　　D.9解析：由渐近线方程3x－2y＝0，知＝.又b2＝9，所以a＝2，从而

23、PF

24、2

25、＝7.故选C.3．(2014·天津)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y＝x与直线y＝2x＋10平行，所以＝2且左焦点为(－5,0)，所以a2＋b2＝c2＝25，解得a2＝5，b2＝20，故双曲线方程为－＝1.故选A.4．(2014·北京)设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．解析：设双曲线C的方程为－x2＝λ，将点(2,

26、2)代入上式，得λ＝－3，∴C的方程为－＝1，其渐近线方程为y＝±2x.5．两个正数a，b的等差中项是，等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝________.解析：a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.又a>b，∴a＝3，b＝2，∴c＝，从而e＝＝.考点一　双曲线定义的应用探究[调研1]　(1)(2014·大纲全国)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若

27、F1A

28、＝2

29、F2A

30、，则cos∠AF2F1＝(　　)A.B.C．D.[解析]　由e＝＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义，得

31、F1A

32、－

33、F2A

34、＝2a，又

35、F1A

36、＝2

37、F2A

38、

39、，故

40、F1A

41、＝4a，

42、F2A

43、＝2a.∴cos∠AF2F1＝＝.(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，定点A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则

44、PF

45、＋

46、PA

47、的最小值为(　　)A．7B.8C．9D.10[解析]　设双曲线的右焦点为F1(4,0)，则由双曲线的定义可知

48、PF

49、＝2a＋

50、PF1

51、＝4＋

52、PF1

53、，所以当满足

54、PF1

55、＋

56、PA

57、取最小值时就满足

58、PF

59、＋

60、PA

61、取最小值．由双曲线的图象可知当点A，P，F1共线时，

62、PF1

63、＋

64、PA

65、取得最小值．而

66、AF1

67、即为

68、PF1

69、＋

70、PA

71、的最小值，又因为

72、AF1

73、＝5，故所求最小值为9.考点二　双曲线标准方程与几何性质

74、的创新题型[调研2]　(1)(2014·重庆)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得

75、PF1

76、＋

77、PF2

78、＝3b，

79、PF1

80、·

81、PF2

82、＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)A.B.C．D.3[解析]　由双曲线的定义，得

83、

84、PF1

85、－

86、PF2

87、

88、＝2a，又

89、PF1

90、＋

91、PF2

92、＝3b，所以(

93、PF1

94、＋

95、PF2

96、)2－(

97、PF1

98、－

99、PF2

100、)2＝9b2－4a2，即4

101、PF1

102、·

103、PF2

104、＝9b2－4a2，又4

105、PF1

106、·

107、PF2

108、＝9ab，因此9b2－4a2