双曲线的标准方程及其几何性质

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1、双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质.1．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F1F2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F1、F2是焦点，两焦点间的距离｜F1F2｜是焦距，用2c表示，常数用2表示。(1)若｜MF1｜-｜MF2｜=2时，曲线只表示焦点F2所对应的一支双曲线.(2)若｜MF1｜-｜MF2｜=-2时，曲线只表示焦点F1所对应的一支双曲线.(3)若2=2c时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F1、F2为端点向外的两条射线.(4)若2＞2c时，动

2、点的轨迹不存在.2.双曲线的标准方程：-=1(＞0,b＞0)表示焦点在x轴上的双曲线；-=1(＞0,b＞0)表示焦点在y轴上的双曲线.判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小，而是x2、y2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上.3.双曲线的简单几何性质：标准方程（）（）图象关系范围顶点对称性关于轴成轴对称、关于原点成中心对称渐近线离心率焦点等轴双曲线：x2-y2＝2(≠0),它的渐近线方程为y＝±x,离心率e＝.4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数

3、解的个数来确定。（1）通常消去方程组中变量(或)得到关于变量(或)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有：直线与双曲线相交于两个点；直线与双曲线相交于一个点；直线与双曲线无交点．（2）若得到关于(或7)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线被双曲线截得的弦长或，其中是直线的斜率，，是直线与双曲线的两个交点，的坐标，且，，可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为

4、(　　)A．x2－y2＝1B．x2－y2＝2C．x2－y2＝D．x2－y2＝解析：由题意，设双曲线方程为－＝1(a>0)，则c＝a，渐近线y＝x，∴＝，∴a2＝2.∴双曲线方程为x2－y2＝2.答案：B例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点，离心率．(2)、是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，双曲线离心率为且，．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在轴上，设为所求．由，得．　　①由点在双曲线上，得．②，又，由①、②得，．　③若双曲线的实轴在轴上

5、，设为所求．同理有，，．解之，得（不合，舍去）．∴双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线方程为．7(2)设双曲线方程为，因，而，由双曲线的定义，得．由余弦，得，∴．又，∴．∴，，得，．∴所求双曲线的方程为．三、巩固测试题1．到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（D）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线2．方程表示双曲线，则的取值范围是（D）A．B．C．D．或3．双曲线的焦距是（C）A．4B．C．8D．与有关4．若，双曲线与双曲线有（D）A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点5．过双曲线

6、左焦点F1的弦AB长为6，则（F2为右焦点）的周长是（A）A．28B．22C．14D．126．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A．2B．2C.D．1解析：双曲线－＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y＝x或y＝－x.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d＝＝2.7．以椭圆的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（）A7A．B．C．D．8．过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个交点的直线有(　　)A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图所示，满足条件的直线共有3条

7、．9．经过两点的双曲线的方程为（）CA．B．C．D．10．已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为（）A．B．C．D．11．已知P是双曲线上的一点，是双曲线的两个焦点，且则的面积为（）DA．B．C．D．12．双曲线的实轴长等于，虚轴长等于，顶点坐标为，焦点坐标为，渐近线方程为，离心率等于．13．直线与双曲线相交于两点，则=________12．14．过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为。13．15．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则。双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴m<0，且双曲线方程为，∴7m=。1

8、6．已知双曲线的离心率e＝，且与椭圆＋＝1有共同的焦点，求该双曲线的方程．解：在椭圆中，焦点坐标为(±，0)，∴c＝，又e＝＝＝，∴a2＝8，b2＝2.∴双曲线方程为－＝1.17．已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积．解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．∴,∵，∴在中，∵，∴，∴∴18．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.（1）