7第七讲、第二章 弹性力学平面问题(9~10)

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1、弹性力学张盛副教授能源科学与工程学院§2-5物理方程弹性模量，泊松比§2-6边界条件应力边界，位移边界，混合边界§2-7圣维南原理静力等效，原理应用上讲回顾（引言）22021/7/17平面问题的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.几何方程（2-9）3.物理方程（平面应力问题）（2-15）4.边界条件位移：（2-17）应力：（2-18）§2-8按位移求解平面问题§2-9按应力求解平面问题相容方程§2-10常体力情况下的简化本讲主要内容42021/7/17§2-8按位移求解平面问题2021/7/17ZS1、弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程

2、：（2-9）（3）物理方程：（2-15）（4）边界条件：（1）（2）2、弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。3、按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代

3、入，有（2-19）（a）将式(a)代入平衡方程，化简有（2-20）（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：（a）将式（a）代入，得（2-21）（2-17）式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-20）（2）边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：（2-21）相容方程§2-9按应力求解平面问题2021/7/17ZS1、变形协调方程（相容方程）按应力求解平面

4、问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从形变、形变与应力的关系建立补充方程。将几何方程：（2-9）作如下运算：显然有：（2-22）——形变协调方程（或相容方程）即：必须满足上式才能保证位移分量u、v的存在与协调，才能求得这些位移分量。例：其中：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。2、变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：（2-22）利用平衡方程将上述化简：（2-15）（2-2）（a）将上述两边相加：（b）将(b

5、)代入(a)，得：将上式整理得：（2-23）应力表示的相容方程（2）平面应变情形将上式中的泊松比μ代为：，得（2-24）（平面应力情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：当体力fx、fy为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）3、按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：（2-18）（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。例8

6、：例9：图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。课堂练习与讨论2021/7/17ZS例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解（a）（b）（1）将式（a）代入平衡方程：（2-2）——满足将式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一组可能的应力场。例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）

7、解将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：（2-2）显然，平衡微分方程满足。式（a）满足相容方程。再验证，式（a）是否满足边界条件？——满足——满足——近似满足近似满足结论：式（a）为正确解代入相容方程：上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：§2-