4第四讲、第二章 弹性力学平面问题(1、2)

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1、弹性力学张盛副教授能源科学与工程学院绪论☞☞§1.3弹性力学的基本假设（5个）§1.4弹性力学的发展（名人的故事）§1.5弹性力学的研究方法（解析、数值和实验方法）§1.6弹性力学的建模方法（工程问题简化）上讲回顾（引言）22021/9/14第二章平面问题基本理论8学时平面问题关键点：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等。第二章平面问题的基本理论2021/9/14ZS主要内容§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-2平衡微分方程§2-3斜面上的应力主应力§2-4几何方程刚体位移§2-5物理方程§2-6边界条件§2-7圣维南原理

2、§2-8按位移求解平面问题§2-9按应力求解平面问题相容方程§2-10常体力情况下的简化斜方向的应变及位移§2-1平面应力问题与平面应变问题§2-2平衡微分方程本讲主要内容62021/9/14平面应力问题平面应变问题§2-1平面应力问题与平面应变问题72021/9/14xyyztba(1)平面应力问题如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。2、平面应变问题(1)几何特

3、征水坝滚柱厚壁圆筒一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。——近似认为无限长(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。2.、平面应变问题水坝滚柱厚壁圆筒(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。——平面位移问题——平面应变问题注：(1)平面应变问题中但是，(2)平面应变问题中应力分量：——仅为xy的函数

4、。可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？非平面问题3、平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征受力特征应力特征几何特征;受力特征;应变特征。微元体平衡方程

5、§2-2平衡微分方程162021/9/14BACPxyO取微元体PABC（P点附近），DfxfyZ方向取单位长度。设P点应力已知：体力：fx，fyPPPBACxyO取微元体PABC（P点附近），DfxfyZ方向取单位长度。设P点应力已知：体力：fx，fyAC面：BC面：注：这里两次用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸，并且？？？PBACxyODfxfy由微元体PABC平衡，得整理得：当时，有——剪应力互等定理两边同除以dxdy，并整理得：两边同除以dxdy，并整理得：PBACxyODfxfy平面问题的平衡微分方程：（2-2）说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知

6、量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODfxfy比较平面应力和平面应变问题的平衡微分方程。课堂练习与讨论2021/9/14ZS平面问题平衡微分方程小结2021/9/14ZS自己绘图并求得平面问题的平衡方程，注意用到哪些假设条件。预习《弹性力学简明教程》第二章第3、4节本讲作业2021/9/14ZS美国风光12021/9/14ZS下一讲再见！