大学文科数学第三章44918

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1、第三章导数及其应用3.1导数3.2用导数研究函数3.3应用两个问题1.求变速直线运动的瞬时速度问题在直线上引入坐标原点0和单位长度设动点于时刻t在数轴上的位置的坐标为s:如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻的速度考虑质点在时段上的平均速度3.1导数（1）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数（2）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与t有关考虑质点在时段上的平均速度它仅为质点在时刻速度的近似值。，即为质点在时刻的（瞬时）速度。考虑质点在时段上的平均速度若记点P处的切线割线PQ切线PT切点2.曲线的切线

2、问题如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置即存在,则称此极限为函数y=f(x)在点处的导数,有时也称函数y=f(x)在点处可导.可记为定义设函数y=f(x)在点的某一邻域内有定义,如果3.1.1导数的定义或或或（1）导数定义的两种常见形式★（2）关于导数的说明：★★注意:变速直线运动的瞬时速度其中，s=f(t)为关于时间t的位置函数切线的斜率其中，y=f(x)为曲线的方程。由定义求导数步骤:例1求函数的导数解:(1)求增量:(2)算比值:(3)取极限:例

3、2解：例3解：例4解：更一般地例如,例5解：例6解：基本初等函数求导公式2.右导数:单侧导数1.左导数:★★(存在且相等），例7解特别地:即导数的几何意义例9解:由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为解:（1）因为点(1,1)在曲线上，由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为例10已知曲线（1）求过点(1,1)的切线方程；（2）确定b的值，使直线y=3x+b为曲线的切线；（3）求过点(0,3)的切线方程。例10已知曲线（1）求过点(1,1)的切线方程；（2）确定b的值，使直线y=3x+b

4、为曲线的切线；（3）求过点(0,3)的切线方程。解:（2）关键要确定切点。切线方程为例10：已知曲线（1）求过点(1,1)的切线方程；（2）确定b的值，使直线y=3x+b为曲线的切线；（3）求过点(0,16)的切线方程。解:（3）注意点(0,16)不在曲线上。切线方程为可导与连续的关系定理凡可导函数都是连续函数.证:0例如,注意:该定理的逆定理不成立.例11解:设函数u(x)与v(x)在点x处均可导，则:定理1（一）导数的四则运算法则特别地,如果可得公式3.1.2求导法则特别地,注：法则（1）（2）均可推广

5、到有限多个可导函数的情形例：设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点x处均可导，则解：例13设解：例12解：即类似可得例14求y=tanx的导数解：即类似可得例15求y=secx的导数定理2如果函数在x处可导，而函数y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数在x处可导，且有或对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法注：（二）复合函数的导数例17解：解：例16对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后两边分别求导，求出导数.--------对数求导法适用范围:例18解：等式两边取对数得

6、例19这函数的定义域解：两边取对数得两边对x求导得两边取对数得两边对x求导得同理例:20解：等式两边取对数得速度即加速度即引例：变速直线运动3.1.3高阶导数定义若函数的导数可导,或即或类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称高阶导数的运算法则都有n阶导数,则(C为常数)莱布尼兹(Leibniz)公式及设函数设求解:依次类推,例21思考:设问可得例22设求解:特别有:解:规定0!=1思考:例23设求一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边

7、长由变到（如图），问此薄片的面积改变了多少？引例：3.1.4微分的概念再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?定义(微分的实质)由定义知:例24解：基本初等函数的微分公式及微分运算法则求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处.3.设及都可导,则复合函数的微分为复合函数的微分法则由复合函数的微分法则结论：微分形式的不变性注法一法二利用微

8、分形式不变性例25求下列函数的微分(2)解：解：例26解例27例27解：在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.定理:函数证:“必要性”已知在点可微,则故在点的可导,且在点可微的充要条件是在点处可导,且即“充分性”已知即在点的可导,则定理:函数在点可微的充要条件是在点处可导,且即（1）罗尔定理若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且在区间端点处的函数值相等，即则在开区间(a,