大学文科数学第三章教案

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1、文艺复兴的火炬驱散了欧洲中世纪的漫漫黑喑，15世纪之盾的欧洲，资本主义逐渐，出现的大量实际问题，给数学提出了前所未冇的亟待解决的新课题,其中三类问题导致了微分学的产生：(1)求变速运动的瞬吋速度(2)求曲线上一点的切线(3)求极大值和极小值1.1抽象导数概念的两个现实原型原型I求变速直线运动的速度设一质点m从点o开始做变速直线运动，经过r秒到达p点，求该质点在roe[0，r]时刻的瞬时速度.以0为原点，沿质点运动的方向建立数轴----S轴，用X表示质点的运动的路程，显然路程X是时间f的函数,记作s=/(o，/e[o，r】，现求，0e[0，r]时刻的瞬时速度％=沁

2、/()).如來质点做匀速直线运动，那么按照公式速度=路程吋间便可以求出v。，但是现在要求质点做变速直线运动的速度，则在整个时间间隔[0，门内不能应用上边的公式求~时刻的速度％,下面我们分三步来解决这一问题.(1)给~一个攒量/V,时间从r。变到质点M从点^/0运动到点，路程宥了增量&=⑷-/(,0)=/(G+△,)-/(,())(2)当Az很小吋，速度来不及有较大的变化，可以把质点在AZ间隔内的运动看似匀速运动，这实质上是把变速运动近似的转化为匀速运动，下面求心内的平均速度-一A5_/(,0+心)-/(ro)V=—=ArAt(3)当Ar越來越小，平均速度就越來越

3、接近于时刻的瞬时速度vn，即r-rAy/(r0+Az)-/(r0)vn=limv=lim——=limA/->0原型II求曲线切线的斜率在初等数学中，我们知道曲线/U)上的两点和的连线为曲线的割线，当点M沿着曲线无限的趋近于吋，其极限位置就是曲线在点处的切线，如何求曲线在处的切线的斜率呢？我们分三步来解决:(1)求增量给X。一个增量Ar，自变量由x/变到a+ZVy,曲线上纵坐.标的相应攒量力A)，=/(x0+Ay)-/(x0)•(2)求增量比曲线＞’=/(x)上的点从A/G(xG，;v())变到从(％+紅為+4＞，)时，当/Vr很小吋，此时曲线上的纵坐标来不及有很

4、大的变化，这吋候割线的斜率近似的等于切线的斜率，此时割线M()A1的斜率为/(x0+/Lv)-/(x0)A%Aa*(3)取极限当Ar+O吋，点M(xG+Ax，yG+Ay)沿着曲线无限的接近割线从0似的斜率的极限就是切线的斜率，即tana=lim~=lim瓜。+叫-，⑹Ax-＞0八y其屮汉71，是切线与；v轴正向之间的夹角.1.2导数概念定义设函数y=/(x)在点人的某邻域内有定义，当自变量％有一个增量M吋，相应函数值的增量为/(x0+ax)-/(x0),若极限lim.’U+M-.’k)存在tx则称函数/在点X。可导，并称该极限为函数/在点X。处的导数，记为dy

5、<1x=x。，~dv,’(义0)，/X=A0若上述极限不存在，则称/在点％不可导.导数是函数堉量△＞，与自变量增量Av之比&的极限，这个増量比称为函数关于Av自变量的平均变化率，而导数f(x()＞lim’⑸―是函数在点x()处的变化速x^-Y0X-Xo度，称为函数/在点处的瞬吋变化率.导数的力学意义就是变速直线运动物体的瞬时速度导数的儿何意义就是曲线的切线斜率例1求函数/0)=*2在点义=2处的导数解：给％=2—个增量Ax，f(2)=lim叩邊)'"2)=(2,2_4ArAxv4+4Ax+Ar2-4,=lim=4Ar如果函数/在区间(〃，幻内每一点都可导，则称/

6、为区间Gz,/7)上的可导函数。此时对每一个都有/的一个导数/(X)与之对应，记作fx),/,!等.即dxdx这就是说：函数在点X。的导数是曲线y=在点X。处的函数值例2求函数y=丄在点*=1处的导数X11解：/(A+Av)—,⑴=limx+Ayx=lim_1AxAxx(x+Ax)x"r(i)=-i例3求函数人的导数解：f(x)=Hm=Hm^->oAx&一oAx12y/xAx=lim——-—&一0Ax^Vx+Ax+yjxj综上面的例题，幂函数X"的导数-1例4求常数函数y=C的导数.解：(1)求增量：因为＞’=C，即不论*取什么值，y的值总等于C,所以(2)算

7、比值:AyAv(3)取极限：/=limlim0=0.Ax—>0Ax—>0即常数函数的异数等丁零.例5求函数y=sinx的导数.解(1)求增量：Ay=/(%+Ax)-/(x)=sin(x+Ax)-sinxA(x+Ax)+x.(x+Ax)-x由和差化积公式有：Ay=2cos-sin-^(2)算比值:(3)取极限:A2cos(x+—)sin—AsinAxTAxAxdxAxhmcos(x+^).Axsin2AxTlimcos(;v+——)limAv->02.Avsin-2AxT=cosx即(sin又)’=cosa:，用类似的方法，川求得(cos%)’=—situ:我们同

8、样可以利用导数定义去证明