大学文科数学第三章导数与微分

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1、早"P第三章变量变化速度与局部改变、¥.量的估值问题——导数与微分°教学1.使学生准确掌握导数与微分的概念.明确其物理、几何意义，2.熟悉异数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的0的导数公式，并熟练地进行初等函数的导数、微分运算；教学重点1.教学重点是导数与微分的概念及其计算及2.解决方法为在几何意义的基础上理解函数导数的定义，熟记公突出式方法教学难点1.教学难点是求复合函数的导数及2.突破方法是让学生首先记住什么是基木初等函数，然后将复合函数拆成基本初等函数突破方法相关内容素材第一节函数的局部变化率•文艺复兴的火炬驱散

2、了欧洲中世纪的漫漫黑暗，15世纪之后的欧洲，资木主义逐渐，出现的大量实际问题，给数学提出Y前所米奋的亟待解决的新课题，其中三类闷题导致了微分学的产生：(1)求变速运动的瞬时速度(2)求曲线上一点的切线(3)求极大值和极小值1.1抽象导数概念的两个现实原型原型I求变速直线运动的速度设一质点m从点o开始做变速直线运动，经过r秒到达p点，求该质点在时刻的瞬时速度.以0为原点，沿质点运动的方向建立数轴一--5,轴，用5,表示质点的运动的路程，显然路程s是时间Z的函数，记作⑺，ze[o，r],现求z0e

3、；o，r]时刻的瞬时速度V。二V(Z

4、。).如果质点做匀速直线运动，那么按照公式速度=路程丽，便可以求出，但是现在要求质点做变速直线运动的速度，则在整个时问问隔[o，r]内不能应用上边的公式求&吋刻的速度V。，下面我们分三步來解决这~问题.(1)给&一个增MAZ，时间从&变到=&+△/，质点从点运动到点,路程有了增量(2)当AZ很小时，速度来不及宥较大的变化，可以把质点在Af间隔内的运动看似匀速运动，这实质上是把变速运动近似的转化为匀速运动，T而求AZ内的平均速度__仏_/(,0+△/)-/(,())V=——MAz(3)当/V越来越小，平均速度就越来越接近于时刻的瞬时

5、速度％，即第一节函数的局部变化率导数v0=limv=lim—=lim八心+△’)-/(’())A/^0A，一>0AZ/V->0At原型II求曲线切线的斜率在初等数学中，我们知道曲线y=/(%)上的两点M9(x0,凡)和M(X，>，)的连线为曲线的割线，当点M沿着曲线无限的趋近于M。时，其极限位置就是曲线在点处的切线，如何求曲线在M。处的切线的斜率呢？我们分三步来解决：(1)求增量给—个增量Ar，自变量由X。变到x0+Ar，曲线上纵坐标的和应增量为△〉，=f(x0+Ar)-f(x0).(2)求增量比曲线y=/(x)上的点从礼^^以变

6、到似^+紅凡十/^时，当M很小时，此时曲线上的纵坐标来不及宥很大的变化，这时候割线的斜率近似的等于切线的斜率，此时割线的斜率为Ay/(%0+M-f(x0)AxAx⑶取极限当Ax->0时，点M(x0+紅凡+Zy)沿着曲线无限的接近M0(x09y0)f割线的斜率的极限就是切线的斜率，即tana=Ym—=lim+―，其中<7a^—,是切线与x轴正向AxAx2y之间的夹角.1.2导数概念定义设函数y=/C^)在点％。的某邻域内宥定义，当Cl变量x宥一个增量Ar时，和应函数值的增量为~=/(x0+/Lr)-/(%0),若极限limM->

7、0/(x0+Av)-/(x0)Ar存在，则称函数/在点x()可导，丼称该极限为函数/在点％处的导数，记为A=XOdydx丢I，等.若上述极限不存在，则称/在点&不可导.导数是函数增量Ay与自变量増量/tv之比^的极限，这个增量比称为函数关于G变量的平均变化率，而导数尸(心)=是函数在点x。处•^0X-Xo的变化速度，称为函数/在点&处的瞬时变化率.异数的力学意义就是变速直线运动物体的瞬吋速度导数的儿何意义就是曲线的切线斜率例1求函数/(x)=x2在点％=2处的导数解：给％=2—个培量Ar,r(2)=iim^2+^-^2)=iim(

8、2+Ay)2-4AxAx4+4Ar+Ax2-4,=hm=4Ax如果函数/在区间(6Z，/?)内每一点都可导，则称/为区间(6Z，/?)上的可导函数。此吋对每一个xe(«，/?)，都有/的一个导数/'(x)与之对应，记作尸00，，，鱼，！等.即dxdxr(x):lim血生幽A%这就是说：函数/(X)在点x()的导数/'(x0)是曲线y=/(x)在点％处的函数值例2求函数y=—在点x=l处的导数x解：fx)=lim+一•/(•<>=limx+MX=limAv—>0/yAv->0xAa->0例3求函数的导数x+Ax)x4解：f(

9、x)=lim=,imArAj;Ay=lim———-厂AxlyJX+Xx+yJXj2y/X综上面的例题，幕函数的导数=axa~[例4求常数函数y=C的导数.解：(1)求增量：因为y=C,即不论％取什么值，y的值总等于C所以Ay=0;(2)算比值：4^