资源描述：
《高等数学第三章 导数与微分.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第三章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton第三章导数与微分§3.1引入导数概念的例子§3.2导数概念§3.3导数的基本公式与运算法则§3.4高阶导数§3.5微分第三章§3.1引入导数概念的例子1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线M
2、T的斜率两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题§3.2导数概念第三章(一)、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.即运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率不存在,在点不可导.若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在
3、I内可导.若极限例1.求函数解:当 由 改变到 时，函数改变量为因此，步骤:由定义求导数或或例2.求函数(C为常数)的导数.解:即例3.求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）例4.求函数的导数.解:即类似可证得例5解例6.求函数的导数.解:即或例7解011/π－1/π(二)、导数的几何意义曲线在点处的切线方程:法线方程:若切线与x轴平行,称为驻点;例8解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为例9求曲线的通过点的切线方程.分析:切线斜率=?切点?解:设切点为,则切线的斜率为:于是所求切线方程为:因为,切线过点,所
4、以,于是所求切线方程为:在点的某个右邻域内（三）单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)定义2.设函数有定义,存在,定理1.函数在点且存在简写为若函数与都存在,则称在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且由函数的极限,左右极限的关系,知例10解(四)、函数的可导性与连续性的关系定理2.证:设在点x0处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x0连续.即反例:在x=0处连续,但不可导.注意:函数在点x0连续未必可导.在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)显然:在闭区间[a,b]上可导例11解小结1.导数的
5、实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;§3.3导数的基本公式与运算法则第三章思路:(构造性定义)求导法则其它基本初等函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题本节内容(一)函数和、差、积、商的求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且只证明(1)此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例如,(2)推论:(C为常数)推论:例1已知，求解:例2已知，求解:例3.
6、求证证:类似可证:例4.解:例5.解:例6.解:在点x可导,(二)复合函数求导法则定理2.在点可导复合函数且在点x可导,证明略例7.解:求复合而成例8.解:求复合而成例9.解:求复合而成注意:熟练后可省略中间变量，从外向内，逐层求导例10.解:求例11.解:求例12.设解:例13，求分析函数中含有绝对值，所以首先应去掉绝对 值符号，用分段函数表示函数。解当时，当时，综合，得例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广：复合函数求导法可推广到多个中间变量的情形.例14.设求解:此函数由复合而成.熟练后可省略中间变量，从外向内，逐层求导,即(三)
7、反函数的求导法则定理2.y的某邻域内单调可导,证:在x处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知因此例15.求反三角函数及指数函数的导数.解:1)设则类似可求得,则2)设则特别当时,小结:例16.解:求例17.解:求例18.解:求(四)用复合函数求导法则求隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,由表示的函数,称为显函数.例如,可确定显函数可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)例19.求由方程的导数解:视y为x的函数，方程两边对x求导得确定的隐函数例20.求椭圆在点处的切线方程.解:
8、视y为x的函数，椭圆方程两边对x求导故切线方程为即例21.求由方程的导数解:视y为x的函数，方程两边对x求导
