高等数学第三章导数与微分续

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1、第三章导数与微分求导法则与导数公式导数的四则运算复合函数的导数§4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数4.1隐函数的导数隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)例1求由方程在处的导数所确定的隐函数解方程两边对求导,得解得因为当时，由原方程得，所以解:方程两边对x求导得因x=0时y=0,故在x=0处的导数确定的隐函数例2求由方程例3求曲线处的切线方程.在点解方程两边分别对x求导，得解得于是所求切线方程为即例4求由下列方程确定的隐函数y=f(x)的导数：求对数求导法观察5将幂指函数表示为直接求导得另解1)对幂指函数可用对数求导法求导:按指数函数

2、求导公式按幂函数求导公式注意:说明:一般地将幂指函数表示为直接求导得另解对数求导法同时适用于积与商的函数求导数：2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例5求的导数。解两边取对数，得两边对求导，得于是4.2由参数方程所确定的函数的导数若参数方程为由参数方程所确定的函数。即或确定的函数，则称此函数关系所表达的函数为例6已知椭圆的参数方程为求椭圆在相应的点处的切线方程.解当时,椭圆上的相应点的坐标是：曲线在的切线斜率为：或即得椭圆在点的切线方程则例8设求解§5函数的微分引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为x,

3、面积为A,则面积的增量为关于△x的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分当x在取得增量时,变到边长由其5.1微分的概念1.定义函数y=f(x)可微的条件二、微分四则运算法则三、复合函数的微分法则及一阶微分形式不变性则复合函数设的微分为：由于一阶微分形式不变性解解例2求函数例2求函数的微分.例3求函数的微分.例4求下列函数的微分y=(3x2–4)(4x3+x–1)解：∵y′=(3x2–4)′(4x3+x–1)+(3x2–4)(4x3+x–1)′=6x(4x3+x–1)+(3x2–4)(12x2+1)=60x4–39x2–6x–4∴函数的微分为：

4、dy=(60x4–39x2–6x–4)dx解例5求函数的微分.2.在下列等式左端的括号内填入适当函数，使等式成立：解（1）（2）5.3微分在近似计算中的应用常用的近似计算公式：充分小时,有（1）令，得即或（2）或（3）若函数，当处可微,且在解取例4求的近似值。得例10已知半径为10cm的金属圆片加热后半径伸长了0.05cm,求圆面积约增加了多少?令圆面积约增加解以A表示圆面积,表示圆的半径,则练习对x求导两边取对数解:ln(x–1)+ln(x–2)–ln(x–3)p76,13(3)求的导数。作业：13（对数求导法）(1)(3)、15.（微分）(

5、1)(2)(3)（习题三）12（隐函数）（1）（2）（4）14（参方）(1)(3)对x求导两边取对数解:ln(x–1)+ln(x–2)–ln(x–3)例p76,13(3)求的导数。