第三章 导数与微分

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1、第三章导数与微分东北林业大学理学院数学系第三章导数与微分3.13.1导数概念3.1导数概念3.23.2导数的基本公式与四则运算求导法则3.2导数的基本公式与四则运算求导法则3.3其他求导法则3.43.4高阶导数3.4高阶导数3.53.5微分3.5微分3.63.6例题3.6例题东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分2223.13.1导数概念3.1导数概念引例111：1：直线运动的速度问题如图，，已知路程，已知路程s与时间t的关系s=st()从时刻t0到t0+Dt，，质点走过的路程，质点走过的路程D=sst(+D-t)st(),00Ds这段

2、时间内的平均速度：Dsst()st(+Dt)v(Dt)=00Dt瞬时速度：：：Dsst(+D-t)st()00vt()=limv=lim=lim0D®t0D®t0DtD®t0Dt东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分333y=fx()在x的某邻域内有定义，，当自变量，当自变量定义3.1设函数0从x0变到x0+Dx时时，时，，函数，函数y=fx()的增量Dy=f(x+Dx)-f(x)00与自变量的增量Dx之比Dyf(x+Dx)-f(x)=00,DxDx称fx()的平均变化率。。如果。如果D®x0时时，时，，平均变化率的极限，平均变化率的极

3、限Dyfx(+Dx)-fx()lim=lim00D®x0DxD®x0Dx存在，，则称，则称fx()在x0处可导或有导数，，并称此极限值为函，并称此极限值为函dydf数fx()在x0处的导数。。记为。记为y¢xx=0,f¢(x0),xx=0,xx=0dxdx东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分444导数的几何意义..考虑f¢¢¢(x000)DDDyN斜率是y=f(x)DDDxDDDy===f(x+++DDDx)---f(x)00yDDDy===KMNDDDxDDDy令DDDx®®®0Mf(x)0DDDx0x0x0+++DDDxx东北林业

4、大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分555导数的几何意义考虑f¢¢¢(x000)DDDyN斜率是y=f(x)DDDxDDDy===f(x+++DDDx)---f(x)00yDDDy===KMNDDDxDDDy令DDDx®®®0Mf(x)0DDDx0x0x0+++DDDxx东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分666导数的几何意义f¢¢¢(x)))表示曲线在点)表示曲线在点x处切线的斜率0000考虑f¢¢¢(x)000y=f(x)DDDy===f(x+++DDDx)---f(x)00yDDDy===KMNDDDx令DDDx®®®0Dy

5、f¢¢¢(x0)===limDx®®®0DxMf(x)0=tanaaaaaaaa0x0x东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分7772例例5例555求y=x在x=1处的导数....解解：解：D=yf(1+Dx)-f(1)22=(1+Dx)-12=D+D2xx,2Dy2D+Dxx==2+Dx,DxDxDyy¢

6、=lim=lim(2+Dx)=2.x=1D®x0DxD®x0东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分8882例例6例666求y=x在(1,1)处的切线方程及法线方程。。。2解解：解：由例5及导数的几何意义知，y=x在点(1,

7、1)处的切线斜率，故切线方程为y-=12(x-1),即2x-y-=10.11k=-=-由于法，所以法线方程是k2切1y-=-1(x-1),2即x+2y-=30.东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分999定义3.2如果Dyfx(+Dx)-fx()00lim=lim--D®x0DxD®x0Dx存在，，则称此极限值为函数，则称此极限值为函数fx()在x0处的左导数，，记，记记记为f-¢(x0)；；如果；如果Dyfx(+Dx)-fx()00lim=lim++D®x0DxD®x0Dx存在，，则称此极限值为函数，则称此极限值为函数fx()在x0处

8、的右右导数右导数，，记，记记记为f+¢(x0)。。。东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分10定理3.1如果函数fx()在x0处有导数fx¢(0)，，则，则fx()在点处必须连续。。。DyD=y·DD¹x(x0)事实上，，因为，因为Dx，，故，故故故DylimD=ylim·limD=xfx¢()0·=0.0D®x0D®x0DxD®x0yy===x注意:::函数在点x连续未必可导。ox反例:::y=

9、

10、x在x=0处连续，，但不可导，但不可导。。。东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分111xsin,当x¹0，例例8例888f

11、x()=x试证函数0,当x=0，在x=0处连续，，但不，但不可导。。（。（（如图（如图）））1ylim()fx=limsinx=0