第三章导数与微分87444

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1、第三章导数与微分一、本章提要1.基本概念瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分．2.基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式．3.基本方法⑴利用导数定义求导数；⑵利用导数公式与求导法则求导数；⑶利用复合函数求导法则求导数；⑷隐含数微分法；⑸参数方程微分法；⑹对数求导法；⑺利用微分运算法则求微分或导数．二、要点解析问题1从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率.解析对于作变速直线运动的质点，若位移变量与时间变量之间的函数关系为，当从变化到时，在间隔内的平均速度为，此

2、式只反映了在点附近速度变化的快慢程度，即为时刻速度的近似代替量，欲使其过渡到精确值，必须使，即时刻瞬时速度为，也即瞬时速度反映函数在时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程度．常见的变化率：⑴　曲线的切线斜率是纵坐标对横坐标的变化率，这是导数的几何意义；⑵　电流强度是电荷对时间的变化率；⑶　线密度是质量对长度的变化率；⑷　比热容是热量对温度的变化率，以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等．问题2讨论函数的可导性及如何求函数的导数？解析1.我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件．函数在

3、点处可导的充分必要条件是左导数与右导数存在并且相等，即因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不可导，如果连续，再用下面两种方法判定：⑴　直接用定义；⑵　求左、右导数看其是否存在而且相等．　当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往往比较方便．2.由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数．因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点．先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数——幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数．然后再

4、用定义推出了几个主要的求导法则—求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则．借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式．在此基础上解决了基本初等函数的求导问题．下面是我们解决这个问题的思路：还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题．例如，有一定义于的函数其中与分别在区间与可导，为其分界点，求．⑴　时，由于，所以；⑵　时，由于，所以；⑶　在的左、右邻域，由于要从两个不同的表达式与去计值，所以求必须先用左、右导数的定义求与．如果它们都存在而且相等，那么==．在这里特别注

5、意求左、右导数要按照定义，．我们不要因为当时，而认为.在时，是对的，这在上面已经说过但不能误认为就是，有时可能不存在，如下例所示：证明函数在处的导数不存在．因为，，所以不存在．问题3为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什么？解析复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础．复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式.在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步

6、步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导．求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数．当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出．例1设，求.解令，，，，由复合函数求导法则有，如果不写中间变量，可简写成，在相当熟练之后，可进一步简写成．问题4微分概念在实际应用中有何实际意义？微分与导数有何区别？解析微分概念的产生是解决实际问题的需要．计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量

7、往往感到困难，希望有一个比较简单的方法．对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分去近似代替，根据函数的微分定义知是函数增量的线性主部，它有两个性质：（1）是的线性函数；（2）与之差是的高阶无穷小（当）．正是由于性质（1），计算的近似值是比较方便的，同时由于性质（2），当很小时，近似程度也是较好的．因此，一些科学工作者、工程师以及在实际工作中必须同函数的增量或导数打交道的人，在自己所要求的精确范围内，往往就用微分去代替增量，用差商代替导数．微分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数

8、，的微分这一形式不变．需要说明一点是：当为自变量时，作为定义，；当是另一个变量的函数时，．微分与导数是两个不同的概念．微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率.对于一个给定的函数来说，它的微分跟与都有关，而导数只与有关.因为微分具有形式不变性，所以提到微分