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1、第三章导数与微分东北林业大学理学院数学系第三章导数与微分3.13.1导数概念3.1导数概念3.23.2导数的基本公式与四则运算求导法则3.2导数的基本公式与四则运算求导法则3.3其他求导法则3.43.4高阶导数3.4高阶导数3.53.5微分3.5微分3.63.6例题3.6例题东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分2223.13.1导数概念3.1导数概念引例111:1:直线运动的速度问题如图,,已知路程,已知路程s与时间t的关系s=st()从时刻t0到t0+Dt,,质点走过的路程,质点走过的路程D=sst(+D-t)st(),00Ds这段
2、时间内的平均速度:Dsst()st(+Dt)v(Dt)=00Dt瞬时速度:::Dsst(+D-t)st()00vt()=limv=lim=lim0D®t0D®t0DtD®t0Dt东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分333y=fx()在x的某邻域内有定义,,当自变量,当自变量定义3.1设函数0从x0变到x0+Dx时时,时,,函数,函数y=fx()的增量Dy=f(x+Dx)-f(x)00与自变量的增量Dx之比Dyf(x+Dx)-f(x)=00,DxDx称fx()的平均变化率。。如果。如果D®x0时时,时,,平均变化率的极限,平均变化率的极
3、限Dyfx(+Dx)-fx()lim=lim00D®x0DxD®x0Dx存在,,则称,则称fx()在x0处可导或有导数,,并称此极限值为函,并称此极限值为函dydf数fx()在x0处的导数。。记为。记为y¢xx=0,f¢(x0),xx=0,xx=0dxdx东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分444导数的几何意义..考虑f¢¢¢(x000)DDDyN斜率是y=f(x)DDDxDDDy===f(x+++DDDx)---f(x)00yDDDy===KMNDDDxDDDy令DDDx®®®0Mf(x)0DDDx0x0x0+++DDDxx东北林业
4、大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分555导数的几何意义考虑f¢¢¢(x000)DDDyN斜率是y=f(x)DDDxDDDy===f(x+++DDDx)---f(x)00yDDDy===KMNDDDxDDDy令DDDx®®®0Mf(x)0DDDx0x0x0+++DDDxx东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分666导数的几何意义f¢¢¢(x)))表示曲线在点)表示曲线在点x处切线的斜率0000考虑f¢¢¢(x)000y=f(x)DDDy===f(x+++DDDx)---f(x)00yDDDy===KMNDDDx令DDDx®®®0Dy
5、f¢¢¢(x0)===limDx®®®0DxMf(x)0=tanaaaaaaaa0x0x东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分7772例例5例555求y=x在x=1处的导数....解解:解:D=yf(1+Dx)-f(1)22=(1+Dx)-12=D+D2xx,2Dy2D+Dxx==2+Dx,DxDxDyy¢
6、=lim=lim(2+Dx)=2.x=1D®x0DxD®x0东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分8882例例6例666求y=x在(1,1)处的切线方程及法线方程。。。2解解:解:由例5及导数的几何意义知,y=x在点(1,
7、1)处的切线斜率,故切线方程为y-=12(x-1),即2x-y-=10.11k=-=-由于法,所以法线方程是k2切1y-=-1(x-1),2即x+2y-=30.东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分999定义3.2如果Dyfx(+Dx)-fx()00lim=lim--D®x0DxD®x0Dx存在,,则称此极限值为函数,则称此极限值为函数fx()在x0处的左导数,,记,记记记为f-¢(x0);;如果;如果Dyfx(+Dx)-fx()00lim=lim++D®x0DxD®x0Dx存在,,则称此极限值为函数,则称此极限值为函数fx()在x0处
8、的右右导数右导数,,记,记记记为f+¢(x0)。。。东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分10定理3.1如果函数fx()在x0处有导数fx¢(0),,则,则fx()在点处必须连续。。。DyD=y·DD¹x(x0)事实上,,因为,因为Dx,,故,故故故DylimD=ylim·limD=xfx¢()0·=0.0D®x0D®x0DxD®x0yy===x注意:::函数在点x连续未必可导。ox反例:::y=
9、
10、x在x=0处连续,,但不可导,但不可导。。。东北林业大学理学院第3章章导数与微分章导数与微分111xsin,当x¹0,例例8例888f
11、x()=x试证函数0,当x=0,在x=0处连续,,但不,但不可导。。(。((如图(如图)))1ylim()fx=limsinx=0