电磁场理论基础 第6章

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1、第六章时变电磁场和平面电磁波§6.1 时谐电磁场的复数表示§6.2 复数形式麦克斯韦方程组§6.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理§6.4理想介质中的平面波§6.5导电媒质中的平面波§6.6等离子体中的平面坡§6.7电磁波的色散和群速§6.8电磁波的极化§6.1时谐电磁场的复数表示6.1.1复数复数a定义为式中j是虚数,;a′是a的实部,a″是a的虚部,即

2、a

3、称为a的模或绝对值,又称为a的辐角,并有设复数b为则a的共轭复数定义为容易证明,(6-5a)6.1.2复矢量设时谐电磁场电场强度矢量E(t)的一个坐标分量为Ex(t),它的一般表达式为图6-1时谐函数Ex(t)与交流电

4、路中的处理相似,可将Ex(t)写作:式中,Re［］表示对括号中的量取实部。不过在习惯上,为了简化,Re［(·)ejωt］这一符号一般都不重复列出。这样复数称为复振幅,又称为相量。Ex(t)是时间t的函数,而不再是t的函数而只是空间坐标的函数。Ex(t)是实数,而是复数,但只要取其实部便可得出Ex(t)。并有可见这就是说,Ex(t)对时间t的微分运算可化为对复振幅乘以jω的代数运算。这正是采用复数表示的一个方便之处。设时谐电场E(t)除了分量Ex(t)外,还有分量Ey(t)和Ez(t)。将这3个分量都用复数表示,则有于是§6.2复数形式麦克斯韦方程组6.2.1复数形式麦

5、克斯韦方程组对表2-1麦克斯韦方程组的式(a)今有式中▽是对空间坐标的微分算子,它和取实部符号Re可以调换次序。从而得由表2-1中式(b)、(c)、(d)分别得其复数形式为6.2.2复数形式的本构关系和边界条件在简单媒质中,电磁场复矢量的关系为利用这些关系后,复麦氏方程组(6-12)化为非齐次复矢量波动方程:式中在无源区,=0,上述方程化为齐次复矢量波动方程:对有限区域求解波动方程时,需要利用边界条件。边界条件的复数形式与瞬时形式相同,只是各物理量不是瞬时值而是复数值:例6.1在自由空间某点存在频率为5GHz的时谐电磁场,其磁场强度复矢量为(1)求磁场强度瞬时值H(t)

6、;(2)求电场强度瞬时值E(t)。［解］（1）（2）由知§6.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理6.3.1复坡印廷矢量由复数公式(6-5a)知,从而得坡印廷矢量瞬时值为它在一个周期T=2π/ω内的平均值为设电压和电流的复振幅分别为则可见有功功率和无功功率分别为6.3.2复坡印廷定理对其两端取体积分,便得到相应的积分形式:这就是用复矢量表达的坡印廷定理,称为复坡印廷定理。分别取其实部和虚部,得代表单位体积中电磁场储能的最大时间变化率,说明如下。设则单位体积电,磁场储能瞬时值为其一周内平均值为单位体积电、磁场储能瞬时值为由于储能是电磁场的无功功率部分,其磁场与电场的相位将是正交的

7、,即。于是因此该时间变化率的最大值为例6.2两无限大理想导体平板相距d,坐标如图6-2所示。在平行板间存在时谐电磁场,其电场强度为(1)求磁场强度H(t);;(2)求坡印廷矢量S(t)及平均功率流密度;;(3)求导体表面的面电流分布。［解］(1)(2)(3)x=0板：x=d板：§6.4理想介质中的平面波6.4.1平面波的电磁场式(6-21)化为下述标量波动方程:设Ex仅与坐标z有关而与x,y无关,则故式(6-31)化为这是二阶常微分方程,其解为对应的瞬时值为图6-3电磁波的瞬时波形电场复振幅和瞬时值可表示为式中E0是z=0处电场强度的振幅。ωt称为时间相位,kz称为

8、空间相位。空间相位相同的场点所组成的曲面称为等相面,波前或波面。可见,z=const.的平面为波面。因此称这种电磁波为平面电磁波。又因Ex与x,y无关,在z=const.的波面上各点场强相等。这种在波面上场强均匀分布的平面波称为均匀平面波。它是最基本的电磁波形式。空间相位kz变化2π所经过的距离称为波长或相位波长,以λ表示。由kλ=2π得k称为波数,因为,空间相位变化2π相当于一个全波,k表示单位长度内所具有的全波数目。时间相位ωt变化2π所经历的时间称为周期,以T表示;而一秒内相位变化2π的次数称为频率,用f表示。因ωT=2π,得等相面(波前)传播的速度称为相速。我们

9、来考察波前上的一个特定点,这样的点对应于cos(ωt-kz)=const.即ωt-kz=const.,由此可得ωdt-kdz=0,故相速为对于真空,可见,电磁波在真空中的相速等于真空中的光速,其更精确的值是2.99792458×108m/s。在一般介质中ε＞ε0,μ≈μ0,故vp＜c,称为慢波。相应地,介质中的(相位)波长也比真空中的波长短,因为电磁波的磁场强度可由表2-1麦氏方程组式(a)得出:式中η具有阻抗的量纲,单位为欧姆(Ω),它的值与媒质的参数有关,因此它被称为媒质的波阻抗。在真空中它是,更精确的值是376.73035。即这些