高一衔接： 十字相乘法

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1、第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1十字相乘法十字相乘法是一种操作性很强又很实用的因式分解方法，通常表现为两种形式：第一种叫分拆系数形式，由中二次项系数、常数项与一次项系数间的关系得出，如图；第二种叫分拆项形式，即把二次三项式中的二次项拆成二个一次式的乘积，再把常数项写成二个常数的乘积，然后交叉相乘的和是一次项，如图．－1－211图1．1－2－1－2xx图1．1－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图图【例1】把下列各式因式分解：（1）x2－3x＋2；(3)(4)解：解：（1）如图1．1

2、－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．(3)．(4)说明：1此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．2今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x用1来表示（如图1．1－2所示）．练习＝（2）（3）_。（4）【例2】因式分解：(1)(2)（2）x2＋4x－12；解：(1)（3）由图1．1－3，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．说明：此例可以看出，常

3、数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．5练习（1）（2）(3)（4）【例3】把下列各式因式分解：(1)(2)（3）；（4）．分析：(1)把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．(2)由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．－11xy图1．1－5－ay－byxx图1．1－4解：(1)(2)（3）由图1．1－4，得＝（4）＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y+1)（如图1．1－5所示）．练习（1）。（2）（3）【例4】把下列各式因式分解：(1)(2)解：(1)(2

4、)说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．练习;；；；.5【例5】请连续二次运用十字相乘法分解下列各式：；；．解：∵，而，∴原式=；∵，而，∴原式=；∵，而，∴原式=．练习．将下列各式分解因式：；；　　．将下列各式分解因式：；；　　．(1)x2＋6x＋8＝;；;(4);(5)；(6);(7)（8）；(9)x2－2x－1＝(10)（11）（12）。（13）。14、15、16、17、(18)(

5、19);(20)20－9y－20y2；1、2、3、4、55、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、（39）(40)；；　（3）；(4)a2－7a+6；(5)2x2+3x+1；(6)2y2+y－6；(7)6x2－13x+6；(8)3a2－7a－6；(9)6x2－11x+3(10)4m2+8m+3；(11)10x2－21x+2；(12)8m2－22m+15；(13)4n2+4n－15；(14)6a2+a－35；(15)5x2－8x－1

6、3；(16)4x2+15x+9；(17)15x2+x－2；18)6y2+19y+10；(19)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2；(20)7(x－1)2+4(x－1)－20；(21)8x2+6x－35；(22)18x2－21x+5；答案：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、532、33、34、35、36、37、38、5