初高衔接2：十字相乘法与猜根.doc

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1、初高衔接[2]十字相乘法与猜根因式分解中还有一类最常见的就是对二次三项式的分解，最简单有效的方法是十字相乘法（注意，并不是所有二次三项式都能分解）．初中时，对a=1的情况关注较多，我们重点练习a≠1的情况．这是高中必备基本功，需要熟练掌握．十字相乘的思路很简单，如果我们将系数按以下方式排列：第一列是a分解出的数，第二列是c分解出的数，一次项系数是交叉相乘后相加得到的数．第一列的数是x前面的系数，第一行与第二行分别对应一个因式．在十字相乘过程中，先对a与c进行因数分解，然后进行尝试．比如分解因式解：　因为一次项系数为−7，尝试分解6，2，有6=2×3=1×6

2、，2=(−1)×(−2)，再去检验各种排列，最后得到所以．例1.　分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．分析　注意二次齐次式的分解与二次三项式一样，且二次三项式中的x也可以是，，或者可以看成整体的任何式子．以(4)为例，将系数拿出十字相乘第一列是的系数，故分解为．答案　(1)；(2)；(3)；(4)．除了二次三项式之外，高中有时会遇到简单的三次多项式的分解，比如：分解因式分解的思路有很多，比如可以进行各种拆项分组等，但涉及的技巧较多，这里介绍一种以后常用易上手的方式——猜根．对于多项式来说，如果当时，多项式的值为零（我们称a为多项式的零点或根），则此多

3、项式有一个因式为x−a．而对于一个三次多项式来说，一旦得到一个一次因式，那么剩下的一定是个二次三项式，我们就可以通过十字相乘法尝试分解了．我们以为例看看猜根法分解因式的过程．解:　当x=1时，，所以此多项式有因式x−1，即再去求，，的值．通过右边展开式的系数对比，先考虑项知=6；再考虑常数项知=−1；求的值可以考虑项系数，，从而；也可以考虑项系数，有，解得．于是有通过多项式的除法（长除法）可以直接求出因式，与数的除法类似，一直考虑最高次项的抵消即可，过程如下：猜根时，常见的零点有1，−1，2，−2，，.得到零点后，多项式有因式．不要忘记得到这个一次式后，剩

4、下的二次式也要考虑是否可以分解．例2.　分解因式：(1)；(2)；(3)．分析与解　(1)很容易猜出(1)中有根−1，于是(1)中有因式，从而有；注意，不可再分解，因为它的判别式为负；对于(2)(3)，猜根也有一些方向，如果一个整系数三次多项式，则是的因数，是的因数．所以(2)中的根不是分数，往±1，±2上猜；(3)中的根应该是分数，试根，，．(2)计算知2是它的一个根，故；(3)计算知是它的一个根，故.最后给出两组练习：练习一　分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．答案　(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；

5、(7)；(8)．练习二　分解因式：(1)；(2)．答案　(1)；(2)．